Jag har lagt upp filerna i mitt filarkiv, på http:/files.morbyskolan.se.

Här är en zip-fil med allt mitt presentationsmaterial (800kb).

Huvudnumret var dock Douglas Butler från TSM som är baserat i Oundle, England som pratade om det suveräna graf-, statistik, och analysprogrammet Autograph. Det bästa sättet att se vad det klarar av är nog att titta på deras flash-demos.

Några saker står dock ut och placerar programmet i en klass för sig:

• Ritar implicit definierade funktioner i både 2D och 3D. Inget krav på att skriva funktionen som y=…
• “Slow plot” som i kombination med digitala pennmarkeringar möjliggör ett mycket pedagogiskt arbetssätt som åde skapar intresse, mental aktivitet och förväntan hos eleverna. Fråga alltd eleverna “Vad händer nu? Var går kurvan? Vilka punkter etc först. Sedan markera detta med “pennan” så eleverna “äger” området. Först då ritar man, långsamt och härligt.
• En “Constant controller” som varierar valfria parametrar i funktionerna bättre än en slider gör det. En slider har implicita start-, stopp- och stegvärden. Denna controller ger mer kontroll över dessa och du kan t.ex. först justera i steg om 1, sedan i ster om 0,1 och till sist i steg om 0,01 för att finjustera. Allt detta med piltangenterna.
• Generell modellering, dvs man kan anpassa vilken kurva som helst med godtyckligt antal parametrar till datapunkter.
• Utökad skollicens finns.
• Utvecklat av lärare, för lärare i en kreativ miljö med skolledning som satsade och byggde ett företag kring programmet. När kommer det att hända i Sverige?

Jag kan inte vänta på att få tag på ett ex av den utökade skollicensen, den där som gör att alla elever har rätt att köra programmet hemma. Men med en prislapp på 8000 kräver det ett speciellt besök hos rektor och förankring i kollegiet först.

Men om man räknar på det: Säg att programmet “håller” ca 3 år innan man måste betala för en uppgradering. 3 år gånger ca 500 elever ger ca 5,50 kr per elev och år.

En skola borde avsätta en viss del av sin budget till elevprogram, helst sådana som får köras hemma. Autograph och Cabri är definitivt sådana som borde finnas på listan. Jämför kostnaden för elevadministration som går på 50-100 kr per elev och år beroende på system och avtal.

Här är några definitioner jag samlade ihop för flera år sedan:

• Matematik är konsten att undvika räkningar (min favorit - sug på den en stund…)
• Matematik är en vetenskap, kanske den allra äldsta
• Matematik är i stor utsträckning ett hantverk, men som alla goda hantverk också en konst
• Matematik är ett språk och därigenom ett viktigt medel för kommunikation mellan människor
• Matematik är ett hjälpmedel i mycken mänsklig verksamhet från vardagslivet till avancerad teknik
• Matematik är en del av vår kultur som spelat stor roll i den historiska utvecklingen inom många områden, inte enbart inom naturvetenskap och teknik utan också inom handel och ekonomi. 

  (De 5 ovanstående från Utbildningsdepartementets utredning kring skolmatematik 1985-86)

• Matematiken är vetenskapernas drottning. (Carl Friedrich Gauss - Matematikens konung)
• Mathema = vetenskap och techne = konst. Det sägs att sammanslagningen av dessa båda ord gjordes av Pythagoras.
• Matematik, läran om tal o. storheter o. deras förhållande. (Lilla Focus)
• Matematik, läran om logiska samband mellan abstrakta begrepp som mängder, tal, geometriska figurer och funktioner. (Bonniers lexikon)
• Matematik är studiet av generella strukturer. (Min egen definition)
• Matematik är en lek (Prof. Tord Ganelius)
• Matematik är ett verktyg
• Matematik är fantasier, gissningar och galna idéer
• Matematik är något som finns överallt

  (De 3 ovanstående finns många exempel på i Kristin Dahls böcker).

På sistone tror jag mig ha kunnat sammanfatta detta till en överordnad definition. Nyckeln är min tidigare definition om generella strukturer. Vad är detta egentligen om inte att tänka.

Matematik är alltså helt enkelt konsten (!) att tänka strukturerat. Med det grundläggande synsättet bör man ta sig en rejäl titt på vad man håller på med i klassrummet, ordet reflektion får t.ex. plötsligt en mycket större betydelse än vad det kanske haft tidigare. Att reflektera är ju en mental process av stor vikt för inlärningen.

Vad gäller de tekniska hjälpmedlen, t.ex. datorer, räknare och papper, så blir dessa våra mentala förlängningar på samma sätt som snickarens verktyg och bondens traktorer utgör förlängningar av deras viljor och idéer. Att behärska dessa blir naturligt och att undervisa utan verktyg eller lära eleverna hantera matematik helt utan verktyg andra än enkla räknare är som att undervisa om träsnide (med bara en kniv) eller om småskalig biodynamisk odling. Verksamheter som valt hantverksskicklighet framför storskalig effektivitet. Att undervisa med och om kraftfulla verktyg blir i någon mening som att utbilda eleverna till effektiva storskaliga problemlösare.

Det gäller bara att bibehålla hantverksskickligheten. Det finns ingen motsättning mellan storsklaighet och skicklighet i matematiken, snarare tvärtom.

Men synsättet medför mer än det. Det kräver att man inte bara undervisar om hur och när (och varför) verktygen och metoderna ska användas utan framförallt om hur de mentala processerna ska användas och utvecklas. Att man medvetande gör de mentala prcesserna för eleverna, att man lär dem känna igen när de kört fast och att man lär dem vad de ska göra då. Att man lär dem utveckla mentala subrutiner för att analysera och förbättra sitt eget problemlösningsarbete. De gamla grekerna lärde sig inte musik, retorik, geometri och matematik enbart för att lära sig ett instrument, kunna hålla ett tal eller citera ett bevis på randvinkelsatsen utan för att det utvecklade deras tänkande.

Berätta gärna det för era musiklärarkollegor. 

Hon kom i sällskap med Anders Sörensson, en gammal T3-instruktör jag inte träffat förr som tagit på sig att översätta paketet från holländska, om jag förstod det rätt. Där har förlaget ett 2/3-monopol varför programpaketet blivit skolstandard. Nu försöker man här och förstår inte varför det inte fungerar. Kanske har jag några synpunkter? Eller kan testa…?

Jag måste säga att jag har lite svårt för förlag. De skänker frikostigt av böcker omkring sig, inget undantag denna gång, och ler och skakar hand men i slutändan är de bara intresserade av intäkterna. Inte om det är något som är bra eller ej.

Så de kanske fiskade efter en resencion, kanske efter att jag ska sprida det i kollegiet etc. Nå, en resencion ska de få…

Programpaketet Matteboxen beskrivs som så gott som heltäckande, men koncentrerat på grafer och statistik. Tja, det innehåller just precis två program, ett för att rita grafer (och spridningsdiagram) och ett för statistik, med tester, simuleringar etc. De har samma utseende.

Enligt Anders finns det inga övningar, bara verktyg, vilket är skitsnack. Programmen har exakt varsitt verktyg samt massa småmoduler som är mer eller mindre bra integrerade med huvudverktyget och fungerar som specialfall och just…övningar.

All respekt för Anders Sörensson, men programmet är ohyggligt dåligt översatt, eller så är det översatt med så mycket tanke att jag inte hänger med. Några exempel: Arkiv översätts med Fil, Avbryt med Avbrott, Om…Så med Om…Då. Enstaka avvikelser från standarden kan ibland vara motiverade men detta är så mycket att det stör.

Grafräknaren är rätt speciell. Den saknar verktyg för att hitta skärningspunkter och har några få, men inte många regressionsmodeller. samtidigt har den en del unika funktioner som är intressanta. Parametrar tilldelas helt automatiskt en slider som dynamiskt ändrar grafen. Man kan visa förändringsdiagram = en slags diskret derivata vilket är tilltalande, särskilt med tanke på just förståelsen för förändringar och derivata.

Men programmeringen skaver. Inmatningen av formler har t.ex. svårt att klara fri text, det går bättre när man klickar sig fram, men det är bökigt. Kortkommandon verkar saknas och det går åt en hel del klick i hanteringen av programmet.

Statistikpaketet är kompetent och klarar mycket mer än vad som undervisas om på gymnasiet men diagram kan inte sparas, bara exporteras till Word eller skrivas ut. Tanken är kanske att man sparar grundläggande data och genererar diagram när de behövs men att inte kunna spara är för mig ett märkligt sätt att bygga verktyg på.

Det bästa är de datafiler som följer med. Dessa data är intressanta och verkliga. Vad sägs t.ex. om passagerarlistan från Titanic. Det är tyvärr ganska ovanligt att jobba med verkliga data i högstadiet i Sverige.

Men om det bästa med programmet är data som kan hämtas på nätet om man letar lite grand så kanske det inte är programpaketet man behöver utan ett annat arbetssätt.

Så om det nu ändå trots all kritik är ett rätt hyfsat program, varför fungerar det inte i Sverige? Dels tror jag det har att göra med de svenska matematiklärarna som sällan är mest matematiklärare. Oftare är de mest no-, so-, idrotts- eller någon annan slags lärare. Som dessutom undervisar matematik och tycker det är rätt skönt att läroböckerna är så bra i Sverige… Som väljer att lägga sin energi och utvecklingslusta på det andra ämnet. Som aldrig riktigt hängt med i grafräknar- och datorracet. Dessa lärare kommer inte att skaffa programmet.

Det andra skälet är helt enkelt att det inte är tillräckligt bra. Det har onödiga begränsningar. Det tynger sig med tillägg som presenteras som lika viktiga som de två centrala verktygen. De är knackigt programmerat. Och det har inget monopol här i Sverige.

Programpaketet är inte heltäckande på något sätt. men guldkorn finns. Särskilt de automatiska sliders som dyker upp för alla parametrar vid grafritning. De slår dock inte Autographs “constant controller” där man inte bara kan variera parametrarna utan även hastigheten med vilken parametrarna ändras. 

Bättre grafräknareprogram finns nog och säkert bättre statistikpaket. Särskilt med tanke på att det är ett kommerciellt program. Excel gör mycket av det det här paketets statistikdel gör. Autograph klarar så vitt jag ser allt som detta kan klara och mer därtill samt bättre. Autograph är dock dyrare, men för en extended sitelicence som ger alla elever på skolan rätt att köra programmet hemma får man betala 8000 kr en gång. För det här paketet får man betala ca 1500 per år vilket torde gå jämt ut. Men då ingår inga elevlicenser.  

Upptäcka, utforska och generalisera är tre nyckelord som genomsyrar mitt sätt att arbeta med matematiken och framför allt geometrin. Jag är övertygad om att detta arbetssätt leder till bestående kunskap. 

Det här är nyckelord även inom problemlösning. Jag har en del tankar om något jag kallar “Generella verktyg”. Verktyg där det är lätt att strukturera och bygga upp ny information och nya verktyg i verktyget. Verktyg som Cabri, Excel, Papper och Penna. Dessa verktyg karakteriseras också av Lils ledord upptäcka, utforska och generalisera.

Jag är för all del inte ensam där. Helena Karis, biträdande rektor på Matteusskolan, pratar om matematikchattar, Ove Engström på Häggvikskolan berättar om deras podsändningar, Anna Svärd från Ehrensvärdska gymnasiet i Karlskrona spelar in lektioner, Fredrik Wall på Sofia Distans redogör för Webbmatte, Stockholms satsning på matte på hemspråk och Georg Lewin, på Åsö vuxengymnasium i Stockholm lägger ut texten om alla webbresurser han listat.

Ett filmteam, hör och häpna, har gjort ytterligare en intervju med mig då jag körde Excel i en nia. Den ska komma ut på nätet i September.

Förra året fick jag i uppdrag av Texas Instruments att skriva en del övningar till TI-84′an som kunde användas på högstadiet. Resultatet av dessa mödor går sedan en tid att ladda ned här.

Flera av dem kan givetvis även användas på gymnasiet. En del skulle kanske till och med påstå att några av dem är för svåra för högstadiet men det beror en hel del på hur vana eleverna är vid sina verktyg. Om grafräknarna bara kommer fram ibland till vissa övningar kommer de bara att förvirra. För att lyckas få dem till det pedagogiska problemlösningsverktyg de kan vara måste de introduceras tidigt och vara en integrerad del av undervisningen.

Övningarna kan användas som de är men framför allt så hoppas jag att de kan ge inspiration till hur de kan användas kontinuerligt i arbetet med räknare i klassrummet.

För att fira min framtida anställning på Lärarutbildningen på Stockholms Universitet (forna lärarhögskolan) så tänkte jag gå igenom problemet igen och lösa det med olika tekniska hjälpmedel. Kostigt sätt att fira? Inte för The Mad Mathematician!

Uppenbarligen ligger tyngdpunkten på symmetrilinjen, frågan är hur högt upp. Om vi antar att radien är 1 kommer avståndet från centrum av cirkeln till tyngdpunkten, h < 0,5.

Här är resonemanget:

Arean på nederdelen av halvcirkeln skall vara lika med arean på segmentet. Arean på nederdelen = arean på halvcirkeln - arean på segmentet.
Arean på segmentet = arean på sektorn - arean på trianglen.
Arean på sektorn = arean på cirkeln * vinkeln / 360
Arean på cirkeln = Pi.
Arean på triangeln = h · b, där b = √(1 - h²)

Detta kan sammnfogas till följande uttryck som nästan bara beror av h:

π/4 = π · θ /180 - h · √(1 - h²)

Men jag redan då grunderna i trigonometri för jag visste att cos(θ) = h. Det jag sedan gjorde imponerar mig fortfarande. Jag löste ut h som funktion av h!

h = cos[180/π · (π/4 + h√(1 - h²)]

Jag stoppade in h = 0,5 på högersidan och fick ut ett nytt värde på h, som jag på nytt stoppade in i högersidan och fick ett nytt värde på h… Jag hade uppfunnit rekursion! Man får h ≈ 0,40397…

Då hade jag en enkel gymnasieräknare. Nu gick det mycket lättare med en modern grafräknare där man kan upprepa hela föregående beräkning genom ett tryck på enter.

I Cabri löste jag nu problemet dynamiskt. En flernivå-slider styr positionen av en punkt på symmetrilinjen och med den inbyggda räknaren kan jag mäta och beräkna de ingående areorna. Den slider jag använt är en 10-nivåslider där varje nivå är en slider som genererar ett tal mellan 0 och 1.

I Excel använde jag mig av problemlösaren. Det hade gått utmärkt att använda målsökaren men i problemlösaren går det att ställa in högre precision. Problemlösaren är ett tilläggsmakro som måste aktiveras innan det går att använda. Det gör man i menyn under Verktyg/Tillägg…

I både problemlösaren och målsökaren anger man värdet på h som det som får ändras och t.ex. skillnaden mellan de båda areorna som det värde som skall bli = 0.

Målsökning och problemlösaren är exempel på sådant som Excel kan göra men som inte det annars utmärkta kalkylmodulen i TI-nSpire klarar av. Det TI-nSpire däremot klarar är att helt enkelt lösa ekvationen direkt. Visserligen inte symboliskt men kommandot solve(π/4 = π · cos^-1(h) /180 - h · √(1 - h²))| h < 1, h > 0 ger rätt numeriskt svar efter bara någon sekund.

Den fjärde metoden jag använde mig av nu i modern tid för att avgöra problemet med tekniska hjälpmedel var Internet. Men nu blev det intressant. Standardresultatet är 4/3π = 0,422… Det stämmer ju inte! Sakta insåg jag att jag inte bestämt någon tyngdpunkt utan bara den linje som delar arean i lika delar. För att bestämma tyngdpunkten måste man leka med t.ex. moment = avstånd gånger kraft för en summa av infinitesimala band.

Så efter alla dessa år vet jag nu vad jag gjorde. Där ser man!

Tag gärna 5 minuter och titta igenom presentationen. Efter en inledning med ett konkret exempel går han igenom de vanligaste fördomarna mot räknare och krossar sedan dessa fördomar med aktuella forskningsresultat. Han visar under vilka förutsättningar de fungerar och under vilka de inte fungerar. Det är bara att konstatera att de lärare som inte får det att fungera behöver läsa denna utmärkta sammanfattning istället för att skylla sin misslyckade undervisning på räknarna.

Problem: Eleverna behöver mer träning på en viss typ av uppgifter, t.ex. multiplikationstabellen, multiplicera och dividera med 10, 100 och 1000, huvudräkningsträning med konjugatregeln eller kvadrering av tal som slutar på 5 m.m.

Traditionellt fick man skriva ner uppgifterna själv, och springa till kopiatorn. Nu vill man skriva ned dem i Word, vilket tar längre tid, men blir snyggare och trycka ut rätt antal på sin lokala skrivare, men ändå. Nästa gång vill de ha ännu fler uppgifter, Kalle behöver träna på “lilla multiplikationstabellen och några skulle behöva få testa på en 12×12-tabell. Hur många iólika arbetsblad ska man egentligen behöva producera?

Lösningen är att skapa arbetsbladen i Excel. Med hjälp av slumpfunktioner fås olika uppgifter på olika rader och med hjälp av ställbara parametrar kan man variera uppgifternas svårighet.

Jag har gjort två sådana excelark. Eftersom de genererar arbetsblad kallar jag dem för generatorer. Den ena genererar uppgifter där eleven ska multiplicera, addera eller subtrahera 2-4 tal med varandra, t.ex. tabellträning, addition av tresiffriga tal, multiplikation med minnessiffra etc. Den ger inget facit. Den andra genererar uppgifter där eleven skall multiplicera eller dividera (eller båda) tal med 10, 100, 1000 etc. Den genererar ett facit.

De kan laddas ned här: Huvudräkning och Huvudräkning101001000

Hur bygger man då en sådan generator. Det bästa är att ladda ned dem och studera formlerna samtidigt som jag visar några av de viktigaste finesserna.

Slumptal
Det finns en funktion i Excel som heter Slump(). Den genererar ett slumptal mellan 0 och 1. Om man vill ha ett slumpmässigt heltal mellan t.ex. 3 och 8 (fr.o.m. 3 t.o.m. 8 ) kan man multiplicera detta slumptal med 6 (skillnaden+1), lägga till 3 (nu har vi tal från 3,000… till 8,999) och ta heltalsdelen av detta. Om 3an finns i cell A1 och 8an finns i cell A2 blir formeln i Excel =heltal(A1+(A2-A1+1)*slump()).

Konvertera tal till text
Så nu har vi slumpmässiga heltal. Man dessa skall formateras till fin text med  multiplikationstecken och allt. Excel har en funktion som heter Text(tal;format). “Format” är lämpligt att ha = 0 eller texten “Standard”. För att sätta ihop olika tal används funktionen sammanfoga(text1;text2;text3…). Här är ett exempel som genererar en multiplikationsuppgift:

=SAMMANFOGA(TEXT(HELTAL(SLUMP()*(A$44-A$43+1)+A$43);0);”·”;TEXT(HELTAL(SLUMP()*(B$44-B$43+1)+B$43);0))

Det här exemplet bygger på att första talet skall vara mellan talen i A43 och A44 och det andra är mellan B43 och B44. Observera multiplikationstecknet! Det är en symbol som kallas “middle dot” i Words “infoga symbol”-dialog. Det ligger efter de vanliga bokstäverna direkt efter paragraftecknet (det bakvända feta P’t).

Absoluta referenser 
Dollartecknen framför radnumrena 43 och 44 i formeln talar om för Excel att dessa inte skall ändras när formeln kopieras ned från första raden. Om man trycker på F4 kommer dollarteckena automatisk i den cellreferens markören just nu står i. Tryck upprepade gånger på F4 så får du olika varianter: dollartecken på både rad och kolumn, bara rad, bara kolumn eller inte alls.
En cellreferens med dollartecken kallas för “absolut referens”, till skillnad från de relativa referenser Excel vanligen använder.

Organisera arbetet
Det kan lätt bli komplicerat i Excel. Då kan man organisera arbetet genom att arbeta ett steg i taget, från vänster till höger, på ett blad och sedan göra layouten snygg på ett annat blad. Så har jag gjort i “10, 100, 1000″-generatorn. På bladet “Inställningar” finns de ställbara parametrarna och en hel rad av beräkningar för varje uppgift.

Välja slumpmässigt i en lista
I den generatorn visar jag också hur man kan använda funktioner för att välja ett slumpmässigt alternativ ur en lista. Formeln som ska användas är Letarad(Värde, tabell, kolum). Denna funktion letar i en tabell i kolumn ett efter Värde och returnerar motsvarande värde från angiven kolumn.

Ett exempel är följande: =LETARAD(N20;$C$11:$D$17;2), där N20 ges av formeln N20=HELTAL(SLUMP()*O20+1). Vi letar alltså upp ett slumpmässigt värde i kolumn 2 i tabellen C11:D17. O20=ANTAL($D$11:$D$17) och anger alltså maxvärdet för slumptalet. Det är ju ingen idé att slumpa fram en 5:a om det bara finns tre värden i tabellen.

På detta sätt bygger man försiktigt upp sitt första exempel steg för steg på en rad. Sedan kopierar man dett så många rader man vill och ordnar till sin layout på ett annat blad.