jump to navigation

Litteratur by Texas Instruments -Sverige Saturday, 3 May, 2008

Posted by themadmathematician in Sites, TI.
add a comment

Litteratur by Texas Instruments -Sverige

Förra Ã¥ret fick jag i uppdrag av Texas Instruments att skriva en del övningar till TI-84′an som kunde användas pÃ¥ högstadiet. Resultatet av dessa mödor gÃ¥r sedan en tid att ladda ned här.

Flera av dem kan givetvis även användas på gymnasiet. En del skulle kanske till och med påstå att några av dem är för svåra för högstadiet men det beror en hel del på hur vana eleverna är vid sina verktyg. Om grafräknarna bara kommer fram ibland till vissa övningar kommer de bara att förvirra. För att lyckas få dem till det pedagogiska problemlösningsverktyg de kan vara måste de introduceras tidigt och vara en integrerad del av undervisningen.

Övningarna kan användas som de är men framför allt så hoppas jag att de kan ge inspiration till hur de kan användas kontinuerligt i arbetet med räknare i klassrummet.

Tyngdpunkten på en halvcirkel Wednesday, 16 April, 2008

Posted by themadmathematician in AboutMe, Cabri, Excel, TI.
add a comment

Ett av mina tidiga minnen av matematik var när jag en regnig dag på kollo ca 1975-76 fick för mig att bestämma tyngdpunkten på en halvcirkel - och lyckades. Jag var antagligen ca 12-13 år då och det slår mig att jag kunde rätt mycket för min ålder. Men mer intressant är att jag tidigt hade en säregen egenskap att kunna upptäcka matematik.

För att fira min framtida anställning på Lärarutbildningen på Stockholms Universitet (forna lärarhögskolan) så tänkte jag gå igenom problemet igen och lösa det med olika tekniska hjälpmedel. Kostigt sätt att fira? Inte för The Mad Mathematician!

08-04-13-110 Tyngdpunkten på en halvcirkel

Uppenbarligen ligger tyngdpunkten på symmetrilinjen, frågan är hur högt upp. Om vi antar att radien är 1 kommer avståndet från centrum av cirkeln till tyngdpunkten, h < 0,5.

Här är resonemanget:

Arean på nederdelen av halvcirkeln skall vara lika med arean på segmentet. Arean på nederdelen = arean på halvcirkeln - arean på segmentet.
Arean på segmentet = arean på sektorn - arean på trianglen.
Arean på sektorn = arean på cirkeln * vinkeln / 360
Arean på cirkeln = Pi.
Arean på triangeln = h · b, där b = √(1 - h2)

Detta kan sammnfogas till följande uttryck som nästan bara beror av h:

π/4 = π · θ /180 - h · √(1 - h2)

Men jag redan då grunderna i trigonometri för jag visste att cos(θ) = h. Det jag sedan gjorde imponerar mig fortfarande. Jag löste ut h som funktion av h!

h = cos[180/π · (π/4 + h√(1 - h2)]

Jag stoppade in h = 0,5 pÃ¥ högersidan och fick ut ett nytt värde pÃ¥ h, som jag pÃ¥ nytt stoppade in i högersidan och fick ett nytt värde pÃ¥ h… Jag hade uppfunnit rekursion! Man fÃ¥r h ≈ 0,40397…

Då hade jag en enkel gymnasieräknare. Nu gick det mycket lättare med en modern grafräknare där man kan upprepa hela föregående beräkning genom ett tryck på enter.

I Cabri löste jag nu problemet dynamiskt. En flernivå-slider styr positionen av en punkt på symmetrilinjen och med den inbyggda räknaren kan jag mäta och beräkna de ingående areorna. Den slider jag använt är en 10-nivåslider där varje nivå är en slider som genererar ett tal mellan 0 och 1.

I Excel använde jag mig av problemlösaren. Det hade gÃ¥tt utmärkt att använda mÃ¥lsökaren men i problemlösaren gÃ¥r det att ställa in högre precision. Problemlösaren är ett tilläggsmakro som mÃ¥ste aktiveras innan det gÃ¥r att använda. Det gör man i menyn under Verktyg/Tillägg…

I både problemlösaren och målsökaren anger man värdet på h som det som får ändras och t.ex. skillnaden mellan de båda areorna som det värde som skall bli = 0.

08-04-13-109 Tyngdpunkten på en halvcirkel

Målsökning och problemlösaren är exempel på sådant som Excel kan göra men som inte det annars utmärkta kalkylmodulen i TI-nSpire klarar av. Det TI-nSpire däremot klarar är att helt enkelt lösa ekvationen direkt. Visserligen inte symboliskt men kommandot solve(π/4 = π · cos-1(h) /180 - h · √(1 - h2))| h < 1, h > 0 ger rätt numeriskt svar efter bara någon sekund.

Den fjärde metoden jag använde mig av nu i modern tid för att avgöra problemet med tekniska hjälpmedel var Internet. Men nu blev det intressant. Standardresultatet är 4/3Ï€ = 0,422… Det stämmer ju inte! Sakta insÃ¥g jag att jag inte bestämt nÃ¥gon tyngdpunkt utan bara den linje som delar arean i lika delar. För att bestämma tyngdpunkten mÃ¥ste man leka med t.ex. moment = avstÃ¥nd gÃ¥nger kraft för en summa av infinitesimala band.

Så efter alla dessa år vet jag nu vad jag gjorde. Där ser man!

Avancerade räknare - Naturliga verktyg Sunday, 13 April, 2008

Posted by themadmathematician in Press, Sites, TI, TI-Nspire.
add a comment

Per-Eskil Persson frÃ¥n Malmö högskolas lärarutbildning gjorde ett framträdande pÃ¥ Matematikbiennalen som jag tyvärr missade. Jag stötte däremot pÃ¥ hans utmärkta presentation pÃ¥ Biennalens “uppsamlingsplats” för sÃ¥dant som inte kom med pÃ¥ dokumentations-CD’n.

Tag gärna 5 minuter och titta igenom presentationen. Efter en inledning med ett konkret exempel går han igenom de vanligaste fördomarna mot räknare och krossar sedan dessa fördomar med aktuella forskningsresultat. Han visar under vilka förutsättningar de fungerar och under vilka de inte fungerar. Det är bara att konstatera att de lärare som inte får det att fungera behöver läsa denna utmärkta sammanfattning istället för att skylla sin misslyckade undervisning på räknarna.

Biennalintryck Thursday, 7 February, 2008

Posted by themadmathematician in Cabri, Nämnaren, Press, Programs, Sites, TI, TI-Nspire, Övrigt.
add a comment

Matematikbiennalen 2008 är nu slut. Jag höll själv för första gången några små föredrag / workshops om grafräknare och Cabri Geometri. Dessutom höll Susanne Gennow, Bengt Ålander, Lars Burman och jag en välbesökt föreläsning om matematiktävlingar där jag pratade om mina egna erfarenheter av problemlösning i Lärartävlingen Kappa 2007 och hur man kan överföra dessa erfarenheter till eleverna. Dokumentationen till allt detta finns i min förra post.

Det fanns många föredrag jag själv skulle velat gå på men missade eftersom jag själv talade. Bland annat ett av Norio Torimoto om hur man delar en vinkel i tre delar med hjälp av origami.

Lena Svärd pratade om applets i matematikundervisningen och har samlat en del bra länkar till nÃ¥gra sÃ¥dana. En applet är ett litet java-program som ligger pÃ¥ en webbsida och körs automatiskt när man gÃ¥r dit. Det enda som krävs är att webbläsaren har en javamotor installerad vilket de flesta idag har. Lena visade även hur hon använder PowerPoint för att förbereda lektioner, skicka “tomma” presentationer i pdf-format i förväg till eleverna, sedan rita i presentationen under lektionen och sÃ¥ spara dessa anteckningar med presentationen till de som varit borta. Handfasta rÃ¥d till de som har skrivskärm / tablet PC och projektor. Har man inte skrivskärm gÃ¥r det att rita, men knappast skriva, med en vanlig mus förstÃ¥s.

Här är Annas egen dokumentation från Biennalen med bra länkar:

Anna Svärd är gymnasielärare i ma/fy på Ehrensvärdska gymnasiet, Karlskrona. Hon har arbetat som lärare sedan 1995 och har erfarenhet av att undervisa på grundskolan, gymnasiet och högskolan. Hon blev 2007 vald till Innovativ lärare av Microsoft för sin matematikundervisning. E-post: anna.svard@gmail.com

I klassrummet

Genom att använda PowerPoint och applets i matematikundervisningen kan man spara tid som man kan lägga på andra aktiviteter inom matematiken och man kan även öka förståelsen för matematiken hos eleverna. Många applets underlättar elevernas förståelse för matematiken genom att eleverna direkt ser vad som händer, t ex när man låter h gå mot noll i derivatans definition.

Lektionsinspelningar genom skärminspelningar

När man har lektionerna på PowerPoint är det också lätt att spela in dem på datorn genom en skärminspelning på en Tablet-PC. Dels kan man spela in lektionen med hjälp av gratisprogrammet MS Producer (gratis om man har MS PowerPoint) och dels kan man spela in en berättarröst direkt i sina PowerPoint-presentationer. Har man Windows Vista kan man inte använda MS Producer utan får då istället använda Windows Media Encoder. Det finns också många bra betalprogram man kan köpa för att göra skärminspelningar på datorn, Camtasia är ett. Dessa förinspelade lektioner kan eleverna se på hemma om de vill ha en repetition eller om de varit sjuka, de kan också se på dem i skolan.

Exempel på applets

  1. • Multiplikation av två bråk, http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_194_g_2_t_1.html
  2. • Blandat, http://www.walter-fendt.de/m14e/
  3. • Sinus, cosinus och tangens i en rätvinklig triangel, http://www.mathgym.com.au/MIC/book11/chapter3/techlab3_2.htm
  4. • Surfa på en graf, http://www.ies.co.jp/math/java/calc/doukan/doukan.html
  5. • Från sekant till tangent http://www.slu.edu/classes/maymk/Applets/SecantTangent.html
  6. • Funktion, derivata och andraderivata, http://www.slu.edu/classes/maymk/Applets/Derivatives2.html

Programvaror

  1. • MS Office PowerPoint
  2. • MS Producer för PowerPoint (fungerar endast med XP), kan hämtas på http://www.microsoft.com/downloads/details.aspx?FamilyId=1B3C76D5-FC75-4F99-94BC-784919468E73&displaylang=en
  3. • Windows Media Encoder (fungerar även för Vista), kan hämtas på http://www.microsoft.com/windows/windowsmedia/forpros/encoder/default.mspx

Utrustning

  1. • Tablet-PC
  2. • Mikrofon eller headset
  3. • Nätverksuppkoppling
  4. • Bildprojektor

En av de tekniska nyheterna som presenterades på biennalen var Microsoft Math som tydligen har funnits ett tag för den amerikanska marknaden och beräknas släppas på svenska till sommaren. MS Math är ett kompetent grafritningsprogram för både 2D- och 3D-grafer men som även har en del annat godis, t.ex. ekvationslösning med tydligt redovisade mellanled, en formelsamling med de vanligaste formlerna, en triangelsolverare som redovisar sitt arbetssätt och en enhetsomvandlare.

Eftersom det är Microsoft är programmet lite “klickigt” och alla bekvämligheter man skulle kunna önska finns inte där ännu, t.ex. att kunna Ã¥terställa en rotering av en 3D-graf. Roterandet har dessutom en rolig (?) bugg: När man roterar är den automatiska zoomfunktionen igÃ¥ng och ändrar storlek pÃ¥ grafen allteftersom den pga perspektivet ändrar skenbar boxstorlek.

Jag har lite svårt att se vem programmet riktar sig till dock. En vanlig lärare har inte så stor nytta av det om man inte undervisar i en datasal för jämnan. Som presentationsprogram kanske det kan fungera, men elevernas räknare ser ju annorlunda ut så en pedagogisk poäng tappas bort där. Räknarnas smidighet kommer nog att överleva tills den dag alla klassrum har en skärm i varje skolbänk som man kopplar in sin personliga processor till.

Programmet är inte heller gratis, även om det inte är dyrt, ca $20 men det innebär att man inte kan säga Ã¥t alla att ladda ned det till sina hemdatorer. Inte heller kommer skolan att vilja installera det pÃ¥ sina skoldatorer rakt över. Via skolornas volymlicenser pÃ¥ MS-produkter blir det väl visserligen ännu billigare men man drar sig ändÃ¥ om det inte finns ett uttalat behov av programmet. Min bästa gissning är att välmenande föräldrar kommer att skaffa det till sina barn för att hjälpa dem med sina läxor. Och kanske kan det fylla en fuktion där, och kanske användarna faktiskt lär sig nÃ¥got av det ocksÃ¥ eftersom bÃ¥de triangelsolveringen och ekvationslösningen visar mellansteg. Dessutom är det en numera klassisk miljö som eleverna lätt känner igen sig i om de har jobbat med grafräknare förut, men…

Men det känns ärligt talat inte så nytt. Välbekanta redskap, omsorgsfullt utformade, snygg design. Men när upphetsningen över kombinationen MS + Math har lagt sig står man där och undrar vad man ska ha det till. Särskilt som de ännu inte kommit på att integrera den med CAS eller dynamisk geometri, som TI-Inspire.

Gunnar Lindholm, tredjepristagare i Lärartävlingen Kappa 2007 skriver sedan nÃ¥gra Ã¥r ett matematiskt nyhetsblad vid namn Täljaren. I bÃ¥de november- och decembernumret 2007 skriver han om Kappa och sina bidrag och nämner även mitt bidrag till triangeldelningsproblemet. Skriften är intressant för alla som har ett intresse av matematik och fungerar fint som fortbildning. Jag lärde mig t.ex. mycket om primtal samt att David Wells har skrivit en bok om dessa. Om ni inte är bekant med David Wells böcker är de mycket intressanta för den som tycker om kuriosa blandat med hÃ¥rda fakta. Hans “A Penguin dictionary of curious and interesting…” (numbers, geometry, mathematics) -böcker är underbara. Tänk dig en uppslagsbok i talordning! Vilket tal tror du stÃ¥r sist?

Matematikbiennalen 2008 - Material Thursday, 31 January, 2008

Posted by themadmathematician in Cabri, Nämnaren, TI, Övrigt.
2 comments

Här är allt mitt material jag använt under Matematikbiennalen 2008. Må det komma till god användning.

Frågesporten: 

Frågesporten som fanns i Nämnarens monter och facit (kommer senare - försök själv först).

Grafräknare:

Dokumentation av föredraget med webblänkar.

Pdf-filer till aktiviteterna jag skrivit åt Texas Instruments:

Cirkellaboration
Grafräknarhjälp
Klassrumshantering
Procenträkning
Rymdgeometri
RödGrön-spelet
Statistik
Taxiresan

Det finns mycket mer att hämta pÃ¥ engelska pÃ¥ TI’s Activity Exchange.
En del räknarfiler (programgrupper och applikationer finns på mitt filarkiv http://files.morbyskolan.se.

Dynamisk Geometri med Cabri:

Dokumentation av föredraget med webblänkar.
Zip-fil med alla cabrifigurer som jag visade under föredraget.
Fler cabrifiler finns på mitt filarkiv http://files.morbyskolan.se

Insidan av en Kappa - Om matematiktävlingar och problemlösning:

Dokumentation av min del av föredraget med webblänkar.
Min korta PowerPointpresentation.
Spindelmatte.
James Masons bok om problemlösningsprocessen.

Lärartävlingen Kappa 2007 Saturday, 17 November, 2007

Posted by themadmathematician in Cabri, Excel, Programs, TI, TI-Nspire.
1 comment so far

Lärartävlingen Kappa 2007 - en matematiktävling för matematiklärare aktiva i skolan är nu i praktiken slut för denna gång. Jag var med och jag är stolt över att säga att jag tog mig till final, även om jag misslyckades totalt på sista uppgiften. Jag lyckades dock bäst av alla med extrauppgiften som skulle lösas samtidigt som sista uppgiften vilket jag givetvis är extra stolt över. Den lösningen är publicerad på Eduard Baumanns webbplats.  

Här är länkar till mina bidrag i tävlingen:

Uppgift 2, uppgift 3 (innehåller även ett felaktikt induktionsbevis), uppgift 4, uppgift 5, Extrauppgiften.

Jag är också nöjd med min väldigt fullständiga lösning av uppgift 4 där jag ger en enkel och lättfattlig men oväntad geometrisk tolkning till ett svårt kombinatoriskt problem.

Men framför allt vill jag prata lite om att använda tekniska hjälpmedel vid problemlösing. Jag har under tävlingens gång använt mig av följande tekniska hjälpmedel:

Dessutom har jag

Det är med andra ord en formidabel vapenarsenal jag behövt använda mig av för att nå fram. man skulle kanske nå fram helt utan dessa hjälpmedel, på traditionellt sätt med penna och papper men jag måste säga att dessa hjälpmedel sparar enormt med tid och fungerar som laborativa miljöer i vilka man kan leka och experimentera sig fram till svaren på uppgifterna.

Ett exempel: I uppgift 4 skulle man undersöka en slags “avhuggen” eller “instängd” Pascals triangel. Numeriskt gÃ¥r detta bra att simulera i Excel förstÃ¥s. Men nu gällde det att hitta en algebraisk lösning och Excel är ju inte algebraiskt, eller…?

Visserligen är det sÃ¥ men genom att subtrahera kända härledda termer frÃ¥n det simulerade svaret fÃ¥r jag en bild av differenserna (residues) som gör att jag kan “se” formen pÃ¥ näste term. Subtrahera även denna term sÃ¥ fÃ¥r jag nya, mindre differenser som gör att jag kan “se” en term till etc. Genom att pÃ¥ detta sätt hitta svaret pÃ¥ pragmatiskt sätt ser jag formen pÃ¥ svaret vilket hjälper mig att förstÃ¥ och härleda ett teoretiskt uttryck senare. För den som är intresserad av en del avancerade tekniker med Excel kan ni titta pÃ¥ följande fil.

Eller se på arbetsgången för extrauppgiften. Först tänker man så man har en del idéer. Sedan bygger man olika modeller i Cabri Geometri för att mäta staketlängder. Nar man är rätt nöjd börjar man söka på nätet efter bättre lösningar. Efter mycket om och men hittar man slutligen en lösning som är sämre än sin egen. Men man hittar även fler idéer som visar att ens lösning inte är optimal så mna jobbar vidare och hittar ännu bättre lösningar samtidigt som man kontaktar personen som genererat lösningen på nätet. Efter lite utbyte av idéer genererar han en lösning baserad på mina idéer utfört i problemlösaren till Excel.

Vad kan man lära sig av detta som är användbart i undervisningen? Vad sägs om:

Handen på hjärtat: Låter du dina elever lösa tillräckligt med problem?

Texas Instruments introducerar TI Geometry Saturday, 22 September, 2007

Posted by themadmathematician in Cabri, Sites, TI, TI-Nspire.
add a comment

 TI introducerar Texas Instruments - TI Geometry - Home vilket är en uppgradering av en tidigare webbplats som koncentrerade sig på CabriJr - Texas Cabriapplikation för TI-84 och andra modeller.

Den nya webbplatsen har fokus mer på geometri generellt vilket gör att de introducerar TI-Nspire och dess geometriapplikation (som även den är framplockad i samarbete med Cabri). Även länkar till algebra finns, helt i linje med TI-Nspire som är att betrakta som deras nya flaggskepp.

Excel i klassrummet Monday, 20 August, 2007

Posted by themadmathematician in Excel, TI, TI-Nspire.
add a comment

En viktig aspekt av teknologi i matematikundervisningen som jag ännu inte tagit upp är givetvis kalkylblad, vare sig det är MS Excel, applikationen CelSheet på TI-84, applikationen Lists and Spreadsheet på TI-Nspire eller något liknande program i andra sammanhang.

Ett kalkylblad är ett suveränt sätt att organisera dels stora mängder data, dels komplicerade strukturer med samband. En del av dessa program klarar dessutom av att rita diagram, andra, som TI-Nspire klarar även av symboliska beräkningar.

En enkelt, men ändå kraftfullt exempel på hur man kan använda kalkylblad i matematiken är att låta eleverna bygga Pascals Triangel. Pascals Triangel byggs som bekant upp rekursivt genom att varje tal är summan av de båda talen snett ovanför talet. Högst upp är det en ensam etta.

För att göra detta i t.ex. Excel skriver du in formeln =A1+C1 i cell B2. Efter du tryckt ENTER står det 0 i cellen eftersom både A1 och C1 är tomma. Kopiera nu innehållet i B2 till resten av området B2:V11. Det behöver inte vara just till V11 men det bör vara ungefär dubbelt så brett som högt. Kopieringen kan i Excel ske genom att dra i den lilla fyrkanten i nedre högra hörnet av ramen runt den markerade cellen. Mna måste då först dra nedåt och sedan åt höger. Alternativt kan du använda Ctrl-C och Ctrl-V.

Det som händer vid kopieringen är att formeln ändras när den flyttas. I t.ex cell E8 står det nu =D7+F7. Man säger att formeln är baserad på relativa referenser som bevaras vid flyttning och kopiering.

Detta är nu ett hav av nollor. Sätt nu en ensam etta i cell L1. Voilà, Pascals Triangel.

Tag bort den ettan och sätt en ny etta i cell B2. Voilà, Catalans triangel som är en annan taltriangel som ofta dyker upp inom matematiken. Ett exempel är pÃ¥ hur mÃ¥nga sätt en regelbunden n-hörning kan delas in i trianglar. En triangel kan göra det pÃ¥ ett sätt, en kvadrat pÃ¥ tvÃ¥ sätt, en femhörning pÃ¥ fem sätt… Detta är Catalantalen som är kolumnen längst till vänster i Catalans triangel.

Catalans triangel uppstÃ¥r alltsÃ¥ ur samma strukturerade “fält” som Pascals triangel och har samma begynnelsevillkor men Catalans triangel har dessutom randvillkoret att alla värden till vänster om ettan skall vara =0.

För att få Excel att inte visa alla nollor går man in i menyn på Alternativ - fliken Visning och tar bort bocken i rutan för Nollvärden.

För att lära sig Excel bra bör man försöka bygga matematiska modeller, simuleringar och elevuppgifter i programmet. Här är några föslag att börja med:

Alef-0: En applikation för TI-84 på högstadiet Friday, 17 August, 2007

Posted by themadmathematician in Alef-0, Programs, TI.
2 comments

Alef-0 är en applikation jag byggt ihop av flera fristående program med hjälp av BasicBuilder som just tar basicprogram för TI-84 och packar ihop dem till en applikation för att spara plats i RAM-minnet på räknaren.

Alef-0 innehåller alltså flera olika fristående program. Dessa är

Percentages - För att kunna räkna procent lika enkelt som pÃ¥ en enkel räknare där man t.ex. kan slÃ¥ “500-7%” och fÃ¥ 465 i svar.
Fractions - För att kunna räkna med bråk exakt lika enkelt som på Casio-räknare med sin speciella bråkräkningsknapp.
Mental Math - För att generera huvudräkningsuppgifter till eleverna. Mycket uppskattat program.
Equation Solver - För att enkelt lösa första- och andragradsekvationer exakt där x är variabeln. Enklare än den inbyggda solvern.
Prime testing - För att primtalsfaktorisera heltal.
Fibonacci seq - För att generera Fibonacciserien snabbbt och enkelt.
Pascals triangle - För att generera valfri rad i Pascals triangel snabbt och enkelt.
Triangle Solver - För att lösa trianglar givet tte av de sex sidorna + vinklarna.
Analyse L1 - För att enkelt anaysera data i L1 i grafisk form. Ritar stapeldiagram, lådagram och medelvärdesstreck i samma diagram.
Chi2tst L1/L2 - För att avgöra om data i L1 och L2 är korrelerade med varandra. Denna variant kräver inga övriga data än just L1 och L2.
General regress - För att göra regression med egendefinierade modeller av typen y = af1 + bf2 + cf3 + df4. f1-f4 definieras i y1-y4. Man kan alltså göra regressioner av t.ex. y = ax, y = ax + b + c/x, y = ax2 + b, y = alnx + bx etc.
Roman convert - Konverterar tal till/från romerska siffror.
Calculate Pi - Beräknar Pi med valfritt antal decimaler.

Dessutom finns “Reset options” där man kan välja att rensa variabler, listor, göra grundinställningar etc.

Jag har skrivit alla program själv med undantag av Triangle Solver som är en bearbetning av  ett program som heter Triangulator och Calculate Pi. Båda dessa har jag hämtat från ticalc.org

Detaljerade instruktioner finns i dokumentet Alef-0 Instruktioner.

TI-filer upplagda i filarkivet Wednesday, 15 August, 2007

Posted by themadmathematician in Alef-0, Programs, TI.
add a comment

Efter en stressig vÃ¥r och ett skönt sommarlov har jag nu lagt upp ett antal filer för TI-84′an pÃ¥ mitt filarkiv. Det är framför allt min applikation Alef-noll och dess ingÃ¥ende program som är upplagda. Applikationen är döpt till Alef-noll för att den ska hamna högst upp i listan över applikationer och för att den är oändligt bra ;-)

Den innehåller diverse bra och användbara program som jag tagit fram framför allt med tanke på högstadiet. Jag kommer att posta små korta instruktioner till applikationens ingående program i den närmsta framtiden.