Man märker att Geogebra sneglar på Cabri. Många bra funktioner som finns i Cabri har blivit kopierade till GeoGebra. Men de har även sneglat på TI-Nspire, i nästa stabila version kommer bl.a. möjligheten att använda kalkylblad, t.ex. att låta en punkt “spåra”, eller “sampla positioner” till kalkylbladet.

Sedan får vi inte glömma GeoGebras egen styrka, det algebraiska förhållningssättet. Möjligheten att se geometriska relationer uttryckt som algebra, lättheten att skapa sliders som kontrollerar tal som ingår i uttryck för kurvor, lättheten att rita kurvor överhuvud taget, kommandon som Derivera, Rot, Extrempunkt m.fl. samt det faktum att GeoGebra är både gratis och plattformsoberoende (så länge du har Java installerat) gör det till en klar vinnare för skolor i mina ögon.

För att få äkta elevaktivitet krävs mycket datortid, något som är svårt att uppnå med en hårt schemalagd datasal. Den enkla installationen gör att så gott som alla elever med en dator hemma klarar av att arbeta med läxor i GeoGebra.

Tag gärna 5 minuter och titta igenom presentationen. Efter en inledning med ett konkret exempel går han igenom de vanligaste fördomarna mot räknare och krossar sedan dessa fördomar med aktuella forskningsresultat. Han visar under vilka förutsättningar de fungerar och under vilka de inte fungerar. Det är bara att konstatera att de lärare som inte får det att fungera behöver läsa denna utmärkta sammanfattning istället för att skylla sin misslyckade undervisning på räknarna.

Det fanns många föredrag jag själv skulle velat gå på men missade eftersom jag själv talade. Bland annat ett av Norio Torimoto om hur man delar en vinkel i tre delar med hjälp av origami.

Lena Svärd pratade om applets i matematikundervisningen och har samlat en del bra länkar till några sådana. En applet är ett litet java-program som ligger på en webbsida och körs automatiskt när man går dit. Det enda som krävs är att webbläsaren har en javamotor installerad vilket de flesta idag har. Lena visade även hur hon använder PowerPoint för att förbereda lektioner, skicka “tomma” presentationer i pdf-format i förväg till eleverna, sedan rita i presentationen under lektionen och så spara dessa anteckningar med presentationen till de som varit borta. Handfasta råd till de som har skrivskärm / tablet PC och projektor. Har man inte skrivskärm går det att rita, men knappast skriva, med en vanlig mus förstås.

Här är Annas egen dokumentation från Biennalen med bra länkar:

En av de tekniska nyheterna som presenterades på biennalen var Microsoft Math som tydligen har funnits ett tag för den amerikanska marknaden och beräknas släppas på svenska till sommaren. MS Math är ett kompetent grafritningsprogram för både 2D- och 3D-grafer men som även har en del annat godis, t.ex. ekvationslösning med tydligt redovisade mellanled, en formelsamling med de vanligaste formlerna, en triangelsolverare som redovisar sitt arbetssätt och en enhetsomvandlare.

Eftersom det är Microsoft är programmet lite “klickigt” och alla bekvämligheter man skulle kunna önska finns inte där ännu, t.ex. att kunna återställa en rotering av en 3D-graf. Roterandet har dessutom en rolig (?) bugg: När man roterar är den automatiska zoomfunktionen igång och ändrar storlek på grafen allteftersom den pga perspektivet ändrar skenbar boxstorlek.

Jag har lite svårt att se vem programmet riktar sig till dock. En vanlig lärare har inte så stor nytta av det om man inte undervisar i en datasal för jämnan. Som presentationsprogram kanske det kan fungera, men elevernas räknare ser ju annorlunda ut så en pedagogisk poäng tappas bort där. Räknarnas smidighet kommer nog att överleva tills den dag alla klassrum har en skärm i varje skolbänk som man kopplar in sin personliga processor till.

Programmet är inte heller gratis, även om det inte är dyrt, ca $20 men det innebär att man inte kan säga åt alla att ladda ned det till sina hemdatorer. Inte heller kommer skolan att vilja installera det på sina skoldatorer rakt över. Via skolornas volymlicenser på MS-produkter blir det väl visserligen ännu billigare men man drar sig ändå om det inte finns ett uttalat behov av programmet. Min bästa gissning är att välmenande föräldrar kommer att skaffa det till sina barn för att hjälpa dem med sina läxor. Och kanske kan det fylla en fuktion där, och kanske användarna faktiskt lär sig något av det också eftersom både triangelsolveringen och ekvationslösningen visar mellansteg. Dessutom är det en numera klassisk miljö som eleverna lätt känner igen sig i om de har jobbat med grafräknare förut, men…

Men det känns ärligt talat inte så nytt. Välbekanta redskap, omsorgsfullt utformade, snygg design. Men när upphetsningen över kombinationen MS + Math har lagt sig står man där och undrar vad man ska ha det till. Särskilt som de ännu inte kommit på att integrera den med CAS eller dynamisk geometri, som TI-Inspire.

Gunnar Lindholm, tredjepristagare i Lärartävlingen Kappa 2007 skriver sedan några år ett matematiskt nyhetsblad vid namn Täljaren. I både november- och decembernumret 2007 skriver han om Kappa och sina bidrag och nämner även mitt bidrag till triangeldelningsproblemet. Skriften är intressant för alla som har ett intresse av matematik och fungerar fint som fortbildning. Jag lärde mig t.ex. mycket om primtal samt att David Wells har skrivit en bok om dessa. Om ni inte är bekant med David Wells böcker är de mycket intressanta för den som tycker om kuriosa blandat med hårda fakta. Hans “A Penguin dictionary of curious and interesting…” (numbers, geometry, mathematics) -böcker är underbara. Tänk dig en uppslagsbok i talordning! Vilket tal tror du står sist?

Här är länkar till mina bidrag i tävlingen:

Uppgift 2, uppgift 3 (innehåller även ett felaktikt induktionsbevis), uppgift 4, uppgift 5, Extrauppgiften.

Jag är också nöjd med min väldigt fullständiga lösning av uppgift 4 där jag ger en enkel och lättfattlig men oväntad geometrisk tolkning till ett svårt kombinatoriskt problem.

Men framför allt vill jag prata lite om att använda tekniska hjälpmedel vid problemlösing. Jag har under tävlingens gång använt mig av följande tekniska hjälpmedel:

• Skriva matematik i Word + Math Type / Equation Editor
• Använda Excel för att simulera Pascals triangel och liknande scenarios
• Använda problemlösaren i Excel för att söka numeriska minima på geometriska problem 
• Använda TI-Nspire för att lösa ekvationssystem algebraiskt
• Skriva program för TI-Nspire för att hitta vissa typer av lösningar automatiskt
• Använda Cabri Geometri för att rita geometriska diagram
• Använda Cabri Geometri för att undersöka geometriska konstruktioner och söka minimala staketlängden på extrauppgiften

Dessutom har jag

• Sökt, sökt och sökt igen med Google
• Postat frågor i forum på Internet
• E-postat de som vet bättre

Det är med andra ord en formidabel vapenarsenal jag behövt använda mig av för att nå fram. man skulle kanske nå fram helt utan dessa hjälpmedel, på traditionellt sätt med penna och papper men jag måste säga att dessa hjälpmedel sparar enormt med tid och fungerar som laborativa miljöer i vilka man kan leka och experimentera sig fram till svaren på uppgifterna.

Ett exempel: I uppgift 4 skulle man undersöka en slags “avhuggen” eller “instängd” Pascals triangel. Numeriskt går detta bra att simulera i Excel förstås. Men nu gällde det att hitta en algebraisk lösning och Excel är ju inte algebraiskt, eller…?

Visserligen är det så men genom att subtrahera kända härledda termer från det simulerade svaret får jag en bild av differenserna (residues) som gör att jag kan “se” formen på näste term. Subtrahera även denna term så får jag nya, mindre differenser som gör att jag kan “se” en term till etc. Genom att på detta sätt hitta svaret på pragmatiskt sätt ser jag formen på svaret vilket hjälper mig att förstå och härleda ett teoretiskt uttryck senare. För den som är intresserad av en del avancerade tekniker med Excel kan ni titta på följande fil.

Eller se på arbetsgången för extrauppgiften. Först tänker man så man har en del idéer. Sedan bygger man olika modeller i Cabri Geometri för att mäta staketlängder. Nar man är rätt nöjd börjar man söka på nätet efter bättre lösningar. Efter mycket om och men hittar man slutligen en lösning som är sämre än sin egen. Men man hittar även fler idéer som visar att ens lösning inte är optimal så mna jobbar vidare och hittar ännu bättre lösningar samtidigt som man kontaktar personen som genererat lösningen på nätet. Efter lite utbyte av idéer genererar han en lösning baserad på mina idéer utfört i problemlösaren till Excel.

Vad kan man lära sig av detta som är användbart i undervisningen? Vad sägs om:

• Vikten av att ha många verktyg framför allt.
• Lösa problem och tala om problemlösningsprocessen? 
• Vikten av att kunna känna igen när man kört fast och det är dags att byta strategi/verktyg.
• Förmågan att kunna skriva ned sina tankar och utkast, dels snabbt, dels välformulerat, dels i datorskrift.
• Lära sina elever att skriva matematik i Word! (Hur många lärare vet hur man gör upphöjda tal i Word? Multiplikationstecken? Grekiska tecken? Anpassar Word så att man kan skriva grekiska tecken och multiplikationstecken med enkla snabbkommandon som t.ex. Ctrl-punkt för multiplikation, Alt-A för alfa etc.)

Handen på hjärtat: Låter du dina elever lösa tillräckligt med problem?

Den nya webbplatsen har fokus mer på geometri generellt vilket gör att de introducerar TI-Nspire och dess geometriapplikation (som även den är framplockad i samarbete med Cabri). Även länkar till algebra finns, helt i linje med TI-Nspire som är att betrakta som deras nya flaggskepp.

Ett kalkylblad är ett suveränt sätt att organisera dels stora mängder data, dels komplicerade strukturer med samband. En del av dessa program klarar dessutom av att rita diagram, andra, som TI-Nspire klarar även av symboliska beräkningar.

En enkelt, men ändå kraftfullt exempel på hur man kan använda kalkylblad i matematiken är att låta eleverna bygga Pascals Triangel. Pascals Triangel byggs som bekant upp rekursivt genom att varje tal är summan av de båda talen snett ovanför talet. Högst upp är det en ensam etta.

För att göra detta i t.ex. Excel skriver du in formeln =A1+C1 i cell B2. Efter du tryckt ENTER står det 0 i cellen eftersom både A1 och C1 är tomma. Kopiera nu innehållet i B2 till resten av området B2:V11. Det behöver inte vara just till V11 men det bör vara ungefär dubbelt så brett som högt. Kopieringen kan i Excel ske genom att dra i den lilla fyrkanten i nedre högra hörnet av ramen runt den markerade cellen. Mna måste då först dra nedåt och sedan åt höger. Alternativt kan du använda Ctrl-C och Ctrl-V.

Det som händer vid kopieringen är att formeln ändras när den flyttas. I t.ex cell E8 står det nu =D7+F7. Man säger att formeln är baserad på relativa referenser som bevaras vid flyttning och kopiering.

Detta är nu ett hav av nollor. Sätt nu en ensam etta i cell L1. Voilà, Pascals Triangel.

Tag bort den ettan och sätt en ny etta i cell B2. Voilà, Catalans triangel som är en annan taltriangel som ofta dyker upp inom matematiken. Ett exempel är på hur många sätt en regelbunden n-hörning kan delas in i trianglar. En triangel kan göra det på ett sätt, en kvadrat på två sätt, en femhörning på fem sätt… Detta är Catalantalen som är kolumnen längst till vänster i Catalans triangel.

Catalans triangel uppstår alltså ur samma strukturerade “fält” som Pascals triangel och har samma begynnelsevillkor men Catalans triangel har dessutom randvillkoret att alla värden till vänster om ettan skall vara =0.

För att få Excel att inte visa alla nollor går man in i menyn på Alternativ – fliken Visning och tar bort bocken i rutan för Nollvärden.

För att lära sig Excel bra bör man försöka bygga matematiska modeller, simuleringar och elevuppgifter i programmet. Här är några föslag att börja med:

• Mata in ettor i två celler. Beräkna summan, differensen, produkten och kvoten av dem. En ändrar på ett tal för att få t.ex. summan = antal prickar på tärningen. Därefter turas man om att ändra “sitt tal” så att i tur och ordning summan, differensen, produkten och kvoten blir vad tärningen dikterar. Det gäller att klara alla.
• Mata in 440 i en cell. I cellen nedanför multiplicerar du detta med 12:e roten ur 2. Kopiera denna formel 11 ggr så får du 2 till slut. Jämför dessa beräknade frekvenser med de faktiska på ett piano.
• Använd slumpfunktionerna för att bygga en 7-sidig tärning. Hur kan detta användas i klassrummet?