Ett samband är matematikens motsvarighet till ett påstående: 1 + 2 = 3
En ekvation är matematikens motsvarighet till en fråga: 1 + x = 3

Till detta projekt gjorde en kort PowerPoint-presentation.

Sedan visade jag hur man mycket enkelt kan leka med ekvationer för små barn i Word (som en introduktion – sen är det nog bra om de får pröva själva med stenar eller knappar.

I Excel kan man kombinera tal (exempel) med figurer (diagram) när man visar t.ex. 10-kamrater eller enkla ekvationer. Man kan även göra tabeller och grafer. Dessutom finns ju problemlösaren.

I några av dessa Excel-filer har jag använt mig av rotationsknappar så man kan ändra värdet med ett enkelt klick. Det går kortfattat till så att man i menyn väljer Visa – Verktygsfält och väljer verktygsfältet “Formulär”. Sedan väljer man en rotationskontroll (två pilar) och klickar och drar upp kontrollen där man vill ha den. Högerklicka sedan på den och skriv in en cell i “cellreferens”. Det är den cellen som du sedan kan ändra värde på. Justera även min- och maxvärden m.m. Observera att du inte får ha mindre värden än 0 och inte får stega i mindre steg än 1 så du kan ibland behöva använda en formel för att få något användbart.

Om du t.ex. vill kunna bläddra bland 51 olika värden mellan -1 och 4 i steg om 0,1 så ställ in min=0 och max =50. Om kontrollen är kollad till A1 kan du i B1 ange formeln

=-1+A1/10

Varefter du använder värdena i B1.

På Internet finns många bra Java-applets. I detta Worddokument har jag listat adresserna till 4 olika jag tyckte om.

I gratisprogrammet GeoGebra som är Javabaserat och därför lättinstallerat på alla datorer kan man visa på enkla samband som a + b = c och a·b = c, men framför allt åskådliggöra grafer dynamiskt och lösa ekvationer grafiskt. Man kan även visa hur den gamla Regula Falsi-metoden fungerade (jmf med sista bilden i presentationen)

Man kan avslutningsvis säga att du med moderna datorer och metoder inte längre behöver introducera ekvationer med orden “Tänk på ett tal…”, utan kan använda dig av mycket mer realistiska exempel och en mångfald av representationer för att beskriva strukturerna för eleverna.

Wikipedia är en bra och ofta uppdaterad källa till information. Här finns en rejäl lista på aktuella program för dynamisk geometri.

Myndigheten för Skolutveckling har för övrigt satsat en hel del på sistone för att lägga ut goda exempel om hur IT används i matematikundervisningen.

Här är en zip-fil med allt mitt presentationsmaterial (800kb).

Huvudnumret var dock Douglas Butler från TSM som är baserat i Oundle, England som pratade om det suveräna graf-, statistik, och analysprogrammet Autograph. Det bästa sättet att se vad det klarar av är nog att titta på deras flash-demos.

Några saker står dock ut och placerar programmet i en klass för sig:

• Ritar implicit definierade funktioner i både 2D och 3D. Inget krav på att skriva funktionen som y=…
• “Slow plot” som i kombination med digitala pennmarkeringar möjliggör ett mycket pedagogiskt arbetssätt som åde skapar intresse, mental aktivitet och förväntan hos eleverna. Fråga alltd eleverna “Vad händer nu? Var går kurvan? Vilka punkter etc först. Sedan markera detta med “pennan” så eleverna “äger” området. Först då ritar man, långsamt och härligt.
• En “Constant controller” som varierar valfria parametrar i funktionerna bättre än en slider gör det. En slider har implicita start-, stopp- och stegvärden. Denna controller ger mer kontroll över dessa och du kan t.ex. först justera i steg om 1, sedan i ster om 0,1 och till sist i steg om 0,01 för att finjustera. Allt detta med piltangenterna.
• Generell modellering, dvs man kan anpassa vilken kurva som helst med godtyckligt antal parametrar till datapunkter.
• Utökad skollicens finns.
• Utvecklat av lärare, för lärare i en kreativ miljö med skolledning som satsade och byggde ett företag kring programmet. När kommer det att hända i Sverige?

Jag kan inte vänta på att få tag på ett ex av den utökade skollicensen, den där som gör att alla elever har rätt att köra programmet hemma. Men med en prislapp på 8000 kräver det ett speciellt besök hos rektor och förankring i kollegiet först.

Men om man räknar på det: Säg att programmet “håller” ca 3 år innan man måste betala för en uppgradering. 3 år gånger ca 500 elever ger ca 5,50 kr per elev och år.

En skola borde avsätta en viss del av sin budget till elevprogram, helst sådana som får köras hemma. Autograph och Cabri är definitivt sådana som borde finnas på listan. Jämför kostnaden för elevadministration som går på 50-100 kr per elev och år beroende på system och avtal.

Upptäcka, utforska och generalisera är tre nyckelord som genomsyrar mitt sätt att arbeta med matematiken och framför allt geometrin. Jag är övertygad om att detta arbetssätt leder till bestående kunskap. 

Det här är nyckelord även inom problemlösning. Jag har en del tankar om något jag kallar “Generella verktyg”. Verktyg där det är lätt att strukturera och bygga upp ny information och nya verktyg i verktyget. Verktyg som Cabri, Excel, Papper och Penna. Dessa verktyg karakteriseras också av Lils ledord upptäcka, utforska och generalisera.

Jag är för all del inte ensam där. Helena Karis, biträdande rektor på Matteusskolan, pratar om matematikchattar, Ove Engström på Häggvikskolan berättar om deras podsändningar, Anna Svärd från Ehrensvärdska gymnasiet i Karlskrona spelar in lektioner, Fredrik Wall på Sofia Distans redogör för Webbmatte, Stockholms satsning på matte på hemspråk och Georg Lewin, på Åsö vuxengymnasium i Stockholm lägger ut texten om alla webbresurser han listat.

Ett filmteam, hör och häpna, har gjort ytterligare en intervju med mig då jag körde Excel i en nia. Den ska komma ut på nätet i September.

Förra året fick jag i uppdrag av Texas Instruments att skriva en del övningar till TI-84′an som kunde användas på högstadiet. Resultatet av dessa mödor går sedan en tid att ladda ned här.

Flera av dem kan givetvis även användas på gymnasiet. En del skulle kanske till och med påstå att några av dem är för svåra för högstadiet men det beror en hel del på hur vana eleverna är vid sina verktyg. Om grafräknarna bara kommer fram ibland till vissa övningar kommer de bara att förvirra. För att lyckas få dem till det pedagogiska problemlösningsverktyg de kan vara måste de introduceras tidigt och vara en integrerad del av undervisningen.

Övningarna kan användas som de är men framför allt så hoppas jag att de kan ge inspiration till hur de kan användas kontinuerligt i arbetet med räknare i klassrummet.

Tag gärna 5 minuter och titta igenom presentationen. Efter en inledning med ett konkret exempel går han igenom de vanligaste fördomarna mot räknare och krossar sedan dessa fördomar med aktuella forskningsresultat. Han visar under vilka förutsättningar de fungerar och under vilka de inte fungerar. Det är bara att konstatera att de lärare som inte får det att fungera behöver läsa denna utmärkta sammanfattning istället för att skylla sin misslyckade undervisning på räknarna.

På plussidan får man givetvis ställa att det är gratis för alla, går på både Windows, MacOS och Linux, tillåter väldigt mycket formatering på alla objekt och att det kan producera snygga konstruktionsbeskrivningar där geometrin omsätts till ord lite som GeoGebra omsätter geometrin till semi-algebraiska beskrivningar. Det är hur som helst helt klart värt att testa.