Tyvärr missade redaktören för LMNT-nytt att ändra länken så i tidskriften står en gammal och numera oanvändbar adress. Jag hoppas läsarna hittar hit ändå.

Myndigheten för Skolutveckling har för övrigt satsat en hel del på sistone för att lägga ut goda exempel om hur IT används i matematikundervisningen.

Upptäcka, utforska och generalisera är tre nyckelord som genomsyrar mitt sätt att arbeta med matematiken och framför allt geometrin. Jag är övertygad om att detta arbetssätt leder till bestående kunskap. 

Det här är nyckelord även inom problemlösning. Jag har en del tankar om något jag kallar “Generella verktyg”. Verktyg där det är lätt att strukturera och bygga upp ny information och nya verktyg i verktyget. Verktyg som Cabri, Excel, Papper och Penna. Dessa verktyg karakteriseras också av Lils ledord upptäcka, utforska och generalisera.

Jag är för all del inte ensam där. Helena Karis, biträdande rektor på Matteusskolan, pratar om matematikchattar, Ove Engström på Häggvikskolan berättar om deras podsändningar, Anna Svärd från Ehrensvärdska gymnasiet i Karlskrona spelar in lektioner, Fredrik Wall på Sofia Distans redogör för Webbmatte, Stockholms satsning på matte på hemspråk och Georg Lewin, på Åsö vuxengymnasium i Stockholm lägger ut texten om alla webbresurser han listat.

Ett filmteam, hör och häpna, har gjort ytterligare en intervju med mig då jag körde Excel i en nia. Den ska komma ut på nätet i September.

Tag gärna 5 minuter och titta igenom presentationen. Efter en inledning med ett konkret exempel går han igenom de vanligaste fördomarna mot räknare och krossar sedan dessa fördomar med aktuella forskningsresultat. Han visar under vilka förutsättningar de fungerar och under vilka de inte fungerar. Det är bara att konstatera att de lärare som inte får det att fungera behöver läsa denna utmärkta sammanfattning istället för att skylla sin misslyckade undervisning på räknarna.

Det fanns många föredrag jag själv skulle velat gå på men missade eftersom jag själv talade. Bland annat ett av Norio Torimoto om hur man delar en vinkel i tre delar med hjälp av origami.

Lena Svärd pratade om applets i matematikundervisningen och har samlat en del bra länkar till några sådana. En applet är ett litet java-program som ligger på en webbsida och körs automatiskt när man går dit. Det enda som krävs är att webbläsaren har en javamotor installerad vilket de flesta idag har. Lena visade även hur hon använder PowerPoint för att förbereda lektioner, skicka “tomma” presentationer i pdf-format i förväg till eleverna, sedan rita i presentationen under lektionen och så spara dessa anteckningar med presentationen till de som varit borta. Handfasta råd till de som har skrivskärm / tablet PC och projektor. Har man inte skrivskärm går det att rita, men knappast skriva, med en vanlig mus förstås.

Här är Annas egen dokumentation från Biennalen med bra länkar:

En av de tekniska nyheterna som presenterades på biennalen var Microsoft Math som tydligen har funnits ett tag för den amerikanska marknaden och beräknas släppas på svenska till sommaren. MS Math är ett kompetent grafritningsprogram för både 2D- och 3D-grafer men som även har en del annat godis, t.ex. ekvationslösning med tydligt redovisade mellanled, en formelsamling med de vanligaste formlerna, en triangelsolverare som redovisar sitt arbetssätt och en enhetsomvandlare.

Eftersom det är Microsoft är programmet lite “klickigt” och alla bekvämligheter man skulle kunna önska finns inte där ännu, t.ex. att kunna återställa en rotering av en 3D-graf. Roterandet har dessutom en rolig (?) bugg: När man roterar är den automatiska zoomfunktionen igång och ändrar storlek på grafen allteftersom den pga perspektivet ändrar skenbar boxstorlek.

Jag har lite svårt att se vem programmet riktar sig till dock. En vanlig lärare har inte så stor nytta av det om man inte undervisar i en datasal för jämnan. Som presentationsprogram kanske det kan fungera, men elevernas räknare ser ju annorlunda ut så en pedagogisk poäng tappas bort där. Räknarnas smidighet kommer nog att överleva tills den dag alla klassrum har en skärm i varje skolbänk som man kopplar in sin personliga processor till.

Programmet är inte heller gratis, även om det inte är dyrt, ca $20 men det innebär att man inte kan säga åt alla att ladda ned det till sina hemdatorer. Inte heller kommer skolan att vilja installera det på sina skoldatorer rakt över. Via skolornas volymlicenser på MS-produkter blir det väl visserligen ännu billigare men man drar sig ändå om det inte finns ett uttalat behov av programmet. Min bästa gissning är att välmenande föräldrar kommer att skaffa det till sina barn för att hjälpa dem med sina läxor. Och kanske kan det fylla en fuktion där, och kanske användarna faktiskt lär sig något av det också eftersom både triangelsolveringen och ekvationslösningen visar mellansteg. Dessutom är det en numera klassisk miljö som eleverna lätt känner igen sig i om de har jobbat med grafräknare förut, men…

Men det känns ärligt talat inte så nytt. Välbekanta redskap, omsorgsfullt utformade, snygg design. Men när upphetsningen över kombinationen MS + Math har lagt sig står man där och undrar vad man ska ha det till. Särskilt som de ännu inte kommit på att integrera den med CAS eller dynamisk geometri, som TI-Inspire.

Gunnar Lindholm, tredjepristagare i Lärartävlingen Kappa 2007 skriver sedan några år ett matematiskt nyhetsblad vid namn Täljaren. I både november- och decembernumret 2007 skriver han om Kappa och sina bidrag och nämner även mitt bidrag till triangeldelningsproblemet. Skriften är intressant för alla som har ett intresse av matematik och fungerar fint som fortbildning. Jag lärde mig t.ex. mycket om primtal samt att David Wells har skrivit en bok om dessa. Om ni inte är bekant med David Wells böcker är de mycket intressanta för den som tycker om kuriosa blandat med hårda fakta. Hans “A Penguin dictionary of curious and interesting…” (numbers, geometry, mathematics) -böcker är underbara. Tänk dig en uppslagsbok i talordning! Vilket tal tror du står sist?

“Vi noterar att inget av de svar vi har fått i sak bestrider de svårigheter och problem vi pekar ut i vår första artikel. Svaren genomsyras istället av en förtröstan på att den framtida utvecklingen skall ge oss bättre kunskaper, förnyad utbildning och billigare räknare. Men varför slänga in instrumentet först (i en form som kommer att bli ett de facto obligatorium) och hoppas på att det blir bättre av sig själv? Här finns alltför många oklarheter, anser vi. Hur använder vi tekniska hjälpmedel på ett kreativt sätt som inte undergräver andra viktiga kunskapsmål? Var finns den adekvata utbildningen, som gör att lärarna kan klara detta på ett förtjänstfullt sätt? Vad säger högskolorna om att tillåta denna typ av miniräknare på sina kurser och examina? Vem hamnar i kläm?”

Jag håller i stort med författarna i detta men anser fortfarande att slutsatsen måste bli annorlunda. Stimulera lärarna att fortbilda sig genom att vara välvillig till verktygen. Den största fortbildningsinsatsen gör nog de flesta själva när de funderar på hur de ska använda verktygen på ett pedagogiskt sätt i sin egen undervisning. De som inte funderar på detta kommer nog inte att gå utbildningar på lärarhögskolan heller. Det är de kollegorna vi måste nå. Tyvärr läser de troligen inte dessa debattinlägg heller. Så vem har förslag på hur man höjer “bottennivån” hos lärarkollegiet som helhet? Sådana förslag tror jag skulle vara värdefullare än huruvida man tillåter eller inte tillåter grafräknare på nationella prov. Och om det är några som kommer i kläm så gör de det på grund av dålig undervisning – inte om de får eller inte får ha räknare på proven!

Jonas Hall
Mörbyskolan

Mitt debattinlägg är nu online även hos Nämnaren.

Figuren är konstruerad så att punkten P fritt kan löpa längs den vertikala diametern i cirkeln C0. Både area och längd på segmentet AB variarar då. I Cabri kan man sedan mäta olika storheter. Jag mätte längden på AB och areorna på cirklarna. Arean på det eftersökta området kan man också få Cabri att räkna ut åt en. Med verktyget “måttöverföring” överför man dessa mått till axlarna i ett koordinatsystem så att arean sätts ut på x-axeln och längden av AB på y-axeln. Denna process skapar alltså punkter på axlarna som flyttar sig när P rör sig.

Genom att dra vinkelräta linjer mot axlarna i dessa punkter finner man sedan en punkt i koordinatsystemet som svarar mot en punkt på grafen till y = f (x) eller här (längden av AB) = f (Arean av C0).

Med ett verktyg som heter “lokus” kan man sedan rita upp spåret av punkten i koordinatsystemet när P rör sig i cirkeln och med ett annat verktyg kan man få ekvationen för denna kurva beräknad automatiskt.

Det är nu det roliga börjar. I och med att Cabri hanterar dynamisk geometri kan man dra och flytta på alla objekt som är “fria” och inte konstruerade utifrån andra objekt. T.ex. kan man ändra radien på C0 bara genom att dra i den. Man konstaterar då att grafen inte ändras då radien ändras. Ett märkligt men vackert resultat. Då P flyttas glider punkten i koordinatsystemet längs grafen. Vi kan för flera olika radier konstatera att då arean är nära 6.28 är längden på AB nära exakt 4 vilket alltså torde vara svaret.

Cabri kan aldrig ge bevis utan bara approximativa lösningar men är man ambitiös kan man testa dessa lösningar i Cabri mot de ca 16 siffros noggranhet programmet räknar med. Jag har dock inte gjort det här då jag bara vill visa möjligheterna med programmet.

En sak återstår dock. Vad är “0,39″ i grafens ekvation? Genom att använda vårt funna värde på längden av AB kan vi snabbt identifiera det. Följande måste gälla:

4 = √(2π/x) där x är vårt 0,39. Vi löser snabbt ut x och får x = π / 8 vilket är ca 0,39. Sambandet blir alltså

(Arean på grå området) = (π/8 ) * (längden på AB)²

eller

(längden på AB) = √(Arean på grå området) / (π/8 )