Biennalintryck Thursday, 7 February, 2008
Posted by themadmathematician in Cabri, Nämnaren, Press, Programs, Sites, TI, TI-Nspire, Övrigt.add a comment
Matematikbiennalen 2008 är nu slut. Jag höll själv för första gången några små föredrag / workshops om grafräknare och Cabri Geometri. Dessutom höll Susanne Gennow, Bengt Ålander, Lars Burman och jag en välbesökt föreläsning om matematiktävlingar där jag pratade om mina egna erfarenheter av problemlösning i Lärartävlingen Kappa 2007 och hur man kan överföra dessa erfarenheter till eleverna. Dokumentationen till allt detta finns i min förra post.
Det fanns många föredrag jag själv skulle velat gå på men missade eftersom jag själv talade. Bland annat ett av Norio Torimoto om hur man delar en vinkel i tre delar med hjälp av origami.
Lena Svärd pratade om applets i matematikundervisningen och har samlat en del bra länkar till några sådana. En applet är ett litet java-program som ligger på en webbsida och körs automatiskt när man går dit. Det enda som krävs är att webbläsaren har en javamotor installerad vilket de flesta idag har. Lena visade även hur hon använder PowerPoint för att förbereda lektioner, skicka “tomma” presentationer i pdf-format i förväg till eleverna, sedan rita i presentationen under lektionen och så spara dessa anteckningar med presentationen till de som varit borta. Handfasta råd till de som har skrivskärm / tablet PC och projektor. Har man inte skrivskärm går det att rita, men knappast skriva, med en vanlig mus förstås.
Här är Annas egen dokumentation från Biennalen med bra länkar:
Anna Svärd är gymnasielärare i ma/fy på Ehrensvärdska gymnasiet, Karlskrona. Hon har arbetat som lärare sedan 1995 och har erfarenhet av att undervisa på grundskolan, gymnasiet och högskolan. Hon blev 2007 vald till Innovativ lärare av Microsoft för sin matematikundervisning. E-post: anna.svard@gmail.com
I klassrummet
Genom att använda PowerPoint och applets i matematikundervisningen kan man spara tid som man kan lägga på andra aktiviteter inom matematiken och man kan även öka förståelsen för matematiken hos eleverna. Många applets underlättar elevernas förståelse för matematiken genom att eleverna direkt ser vad som händer, t ex när man låter h gå mot noll i derivatans definition.
Lektionsinspelningar genom skärminspelningar
När man har lektionerna på PowerPoint är det också lätt att spela in dem på datorn genom en skärminspelning på en Tablet-PC. Dels kan man spela in lektionen med hjälp av gratisprogrammet MS Producer (gratis om man har MS PowerPoint) och dels kan man spela in en berättarröst direkt i sina PowerPoint-presentationer. Har man Windows Vista kan man inte använda MS Producer utan får då istället använda Windows Media Encoder. Det finns också många bra betalprogram man kan köpa för att göra skärminspelningar på datorn, Camtasia är ett. Dessa förinspelade lektioner kan eleverna se på hemma om de vill ha en repetition eller om de varit sjuka, de kan också se på dem i skolan.
Exempel på applets
- • Multiplikation av två bråk, http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_194_g_2_t_1.html
- • Blandat, http://www.walter-fendt.de/m14e/
- • Sinus, cosinus och tangens i en rätvinklig triangel, http://www.mathgym.com.au/MIC/book11/chapter3/techlab3_2.htm
- • Surfa på en graf, http://www.ies.co.jp/math/java/calc/doukan/doukan.html
- • Från sekant till tangent http://www.slu.edu/classes/maymk/Applets/SecantTangent.html
- • Funktion, derivata och andraderivata, http://www.slu.edu/classes/maymk/Applets/Derivatives2.html
Programvaror
- • MS Office PowerPoint
- • MS Producer för PowerPoint (fungerar endast med XP), kan hämtas på http://www.microsoft.com/downloads/details.aspx?FamilyId=1B3C76D5-FC75-4F99-94BC-784919468E73&displaylang=en
- • Windows Media Encoder (fungerar även för Vista), kan hämtas på http://www.microsoft.com/windows/windowsmedia/forpros/encoder/default.mspx
Utrustning
- • Tablet-PC
- • Mikrofon eller headset
- • Nätverksuppkoppling
- • Bildprojektor
En av de tekniska nyheterna som presenterades på biennalen var Microsoft Math som tydligen har funnits ett tag för den amerikanska marknaden och beräknas släppas på svenska till sommaren. MS Math är ett kompetent grafritningsprogram för både 2D- och 3D-grafer men som även har en del annat godis, t.ex. ekvationslösning med tydligt redovisade mellanled, en formelsamling med de vanligaste formlerna, en triangelsolverare som redovisar sitt arbetssätt och en enhetsomvandlare.
Eftersom det är Microsoft är programmet lite “klickigt” och alla bekvämligheter man skulle kunna önska finns inte där ännu, t.ex. att kunna återställa en rotering av en 3D-graf. Roterandet har dessutom en rolig (?) bugg: När man roterar är den automatiska zoomfunktionen igång och ändrar storlek på grafen allteftersom den pga perspektivet ändrar skenbar boxstorlek.
Jag har lite svårt att se vem programmet riktar sig till dock. En vanlig lärare har inte så stor nytta av det om man inte undervisar i en datasal för jämnan. Som presentationsprogram kanske det kan fungera, men elevernas räknare ser ju annorlunda ut så en pedagogisk poäng tappas bort där. Räknarnas smidighet kommer nog att överleva tills den dag alla klassrum har en skärm i varje skolbänk som man kopplar in sin personliga processor till.
Programmet är inte heller gratis, även om det inte är dyrt, ca $20 men det innebär att man inte kan säga åt alla att ladda ned det till sina hemdatorer. Inte heller kommer skolan att vilja installera det på sina skoldatorer rakt över. Via skolornas volymlicenser på MS-produkter blir det väl visserligen ännu billigare men man drar sig ändå om det inte finns ett uttalat behov av programmet. Min bästa gissning är att välmenande föräldrar kommer att skaffa det till sina barn för att hjälpa dem med sina läxor. Och kanske kan det fylla en fuktion där, och kanske användarna faktiskt lär sig något av det också eftersom både triangelsolveringen och ekvationslösningen visar mellansteg. Dessutom är det en numera klassisk miljö som eleverna lätt känner igen sig i om de har jobbat med grafräknare förut, men…
Men det känns ärligt talat inte så nytt. Välbekanta redskap, omsorgsfullt utformade, snygg design. Men när upphetsningen över kombinationen MS + Math har lagt sig står man där och undrar vad man ska ha det till. Särskilt som de ännu inte kommit på att integrera den med CAS eller dynamisk geometri, som TI-Inspire.
Gunnar Lindholm, tredjepristagare i Lärartävlingen Kappa 2007 skriver sedan några år ett matematiskt nyhetsblad vid namn Täljaren. I både november- och decembernumret 2007 skriver han om Kappa och sina bidrag och nämner även mitt bidrag till triangeldelningsproblemet. Skriften är intressant för alla som har ett intresse av matematik och fungerar fint som fortbildning. Jag lärde mig t.ex. mycket om primtal samt att David Wells har skrivit en bok om dessa. Om ni inte är bekant med David Wells böcker är de mycket intressanta för den som tycker om kuriosa blandat med hårda fakta. Hans “A Penguin dictionary of curious and interesting…” (numbers, geometry, mathematics) -böcker är underbara. Tänk dig en uppslagsbok i talordning! Vilket tal tror du står sist?
Matematikbiennalen 2008 - Material Thursday, 31 January, 2008
Posted by themadmathematician in Cabri, Nämnaren, TI, Övrigt.2 comments
Här är allt mitt material jag använt under Matematikbiennalen 2008. Må det komma till god användning.
Frågesporten:
Frågesporten som fanns i Nämnarens monter och facit (kommer senare - försök själv först).
Grafräknare:
Dokumentation av föredraget med webblänkar.
Pdf-filer till aktiviteterna jag skrivit åt Texas Instruments:
Cirkellaboration
Grafräknarhjälp
Klassrumshantering
Procenträkning
Rymdgeometri
RödGrön-spelet
Statistik
Taxiresan
Det finns mycket mer att hämta på engelska på TI’s Activity Exchange.
En del räknarfiler (programgrupper och applikationer finns på mitt filarkiv http://files.morbyskolan.se.
Dynamisk Geometri med Cabri:
Dokumentation av föredraget med webblänkar.
Zip-fil med alla cabrifigurer som jag visade under föredraget.
Fler cabrifiler finns på mitt filarkiv http://files.morbyskolan.se
Insidan av en Kappa - Om matematiktävlingar och problemlösning:
Dokumentation av min del av föredraget med webblänkar.
Min korta PowerPointpresentation.
Spindelmatte.
James Masons bok om problemlösningsprocessen.
Mera i räknardebatten Friday, 15 December, 2006
Posted by themadmathematician in Nämnaren, Press, TI.add a comment
Lingefjärd och Thunberg skriver i sitt nya inlägg på nämnarens webbplats:
“Vi noterar att inget av de svar vi har fått i sak bestrider de svårigheter och problem vi pekar ut i vår första artikel. Svaren genomsyras istället av en förtröstan på att den framtida utvecklingen skall ge oss bättre kunskaper, förnyad utbildning och billigare räknare. Men varför slänga in instrumentet först (i en form som kommer att bli ett de facto obligatorium) och hoppas på att det blir bättre av sig själv? Här finns alltför många oklarheter, anser vi. Hur använder vi tekniska hjälpmedel på ett kreativt sätt som inte undergräver andra viktiga kunskapsmål? Var finns den adekvata utbildningen, som gör att lärarna kan klara detta på ett förtjänstfullt sätt? Vad säger högskolorna om att tillåta denna typ av miniräknare på sina kurser och examina? Vem hamnar i kläm?”
Jag håller i stort med författarna i detta men anser fortfarande att slutsatsen måste bli annorlunda. Stimulera lärarna att fortbilda sig genom att vara välvillig till verktygen. Den största fortbildningsinsatsen gör nog de flesta själva när de funderar på hur de ska använda verktygen på ett pedagogiskt sätt i sin egen undervisning. De som inte funderar på detta kommer nog inte att gå utbildningar på lärarhögskolan heller. Det är de kollegorna vi måste nå. Tyvärr läser de troligen inte dessa debattinlägg heller. Så vem har förslag på hur man höjer “bottennivån” hos lärarkollegiet som helhet? Sådana förslag tror jag skulle vara värdefullare än huruvida man tillåter eller inte tillåter grafräknare på nationella prov. Och om det är några som kommer i kläm så gör de det på grund av dålig undervisning - inte om de får eller inte får ha räknare på proven!
Jonas Hall
Mörbyskolan
Avancerade räknare – hjälper eller stjälper? | NCM:s och Nämnarens webbplats Monday, 4 December, 2006
Posted by themadmathematician in Nämnaren, Press, TI.add a comment
Avancerade räknare – hjälper eller stjälper? | NCM:s och Nämnarens webbplats
Mitt debattinlägg är nu online även hos Nämnaren.
Nämnarens novemberproblem nr 3 Monday, 4 December, 2006
Posted by themadmathematician in Cabri, Nämnaren, Press.add a comment
Här är en lösning av Nämnarens novemberproblem nr 3 med Cabri.
Figuren är konstruerad så att punkten P fritt kan löpa längs den vertikala diametern i cirkeln C0. Både area och längd på segmentet AB variarar då. I Cabri kan man sedan mäta olika storheter. Jag mätte längden på AB och areorna på cirklarna. Arean på det eftersökta området kan man också få Cabri att räkna ut åt en. Med verktyget “måttöverföring” överför man dessa mått till axlarna i ett koordinatsystem så att arean sätts ut på x-axeln och längden av AB på y-axeln. Denna process skapar alltså punkter på axlarna som flyttar sig när P rör sig.
Genom att dra vinkelräta linjer mot axlarna i dessa punkter finner man sedan en punkt i koordinatsystemet som svarar mot en punkt på grafen till y = f (x) eller här (längden av AB) = f (Arean av C0).
Med ett verktyg som heter “lokus” kan man sedan rita upp spåret av punkten i koordinatsystemet när P rör sig i cirkeln och med ett annat verktyg kan man få ekvationen för denna kurva beräknad automatiskt.
Det är nu det roliga börjar. I och med att Cabri hanterar dynamisk geometri kan man dra och flytta på alla objekt som är “fria” och inte konstruerade utifrån andra objekt. T.ex. kan man ändra radien på C0 bara genom att dra i den. Man konstaterar då att grafen inte ändras då radien ändras. Ett märkligt men vackert resultat. Då P flyttas glider punkten i koordinatsystemet längs grafen. Vi kan för flera olika radier konstatera att då arean är nära 6.28 är längden på AB nära exakt 4 vilket alltså torde vara svaret.
Cabri kan aldrig ge bevis utan bara approximativa lösningar men är man ambitiös kan man testa dessa lösningar i Cabri mot de ca 16 siffros noggranhet programmet räknar med. Jag har dock inte gjort det här då jag bara vill visa möjligheterna med programmet.
En sak återstår dock. Vad är “0,39″ i grafens ekvation? Genom att använda vårt funna värde på längden av AB kan vi snabbt identifiera det. Följande måste gälla:
4 = √(2π/x) där x är vårt 0,39. Vi löser snabbt ut x och får x = π / 8 vilket är ca 0,39. Sambandet blir alltså
(Arean på grå området) = (π/8 ) * (längden på AB)2
eller
(längden på AB) = √(Arean på grå området) / (π/8 )
Grafräknare hjälper, inte stjälper Monday, 27 November, 2006
Posted by themadmathematician in Nämnaren, Press, TI.2 comments
Hans Thunberg och Thomas Lingefjärd skriver i sin artikel “Öppet brev till skolverket: Avancerade räknare - hjälper eller stjälper?” i Nämnaren nr 4, 2006 om den oro de känner inför skolverkets beslut att tillåta symbolhanterande räknare på gymnasiets nationella prov i matematik. Författarna har lagt in brasklappar om att de inte har något emot att de används i undervisningen och att det bara är beslutet om att använda räknarna på de nationella proven de vänder sig mot men artikeln ger som helhet ändå en övervägande negativ bild av användandet av räknar i skolan. Detta inlägg är ett försök att motverka den bilden.
Jag skriver “försök” eftersom författarna intelligent nog har tagit udden av mitt inlägg redan innan det är skrivet. Jag är nämligen en av de “konsulenter” som Texas instruments “har i sin tjänst”. Sålunda är jag antagligen åtminstone i artikelförfattarnas ögon part i målet och knappt värdig att läsas. Jag vill dock hoppas att andra ska finna det jag har att säga läsvärt.
Jag vill alltså först redovisa något om mig själv. Jag är lärare i matematik och fysik på Mörbyskolan i Danderyd. Jag undervisar på 50% av min tjänst och bedriver skolutveckling, dataansvar och är med i skolans ledningsgrupp på den andra halvan. Jag är dessutom T3-instruktör för Texas Instruments. ”T3” står för ”Teachers Teaching with Technology”, ett begrepp som myntats av Texas Instruments. Det innebär att jag åker ut till skolor i landet som är nyfikna på grafritande räknare och håller tretimmarskurser för dem. Första gången en skola eller kommun gör detta kostar det dem ingenting. Själv får jag betalt samt får resekostnader betalda. En typisk termin håller jag mellan 1-5 sådana kurser, alltså ingenting man lever på, utan snarare ett roligt extraknäck. Förutom detta har vi nordiska samverkansmöten mellan instruktörerna 1-2 gånger per år och det finns möjlighet att åka till en internationell konferens i Texas med några års mellanrum för vår egen fortbildning. Jag vet inte om det är detta författarna menar med gratifikationer. Vi är ca 10 stycken i landet.
Texas Instruments har förutom oss T3-instruktörer två personer anställda i Sverige, en marknadsförare och en (äkta) skolkonsulent vars arbete består i att knyta kontakt med och mellan skolor som jobbar med grafräknare. Självklart är vi medvetna om att Texas Instruments och andra aktörer är vinstdrivande företag. Vi som är instruktörer har våra egna åsikter i den frågan. De flesta är nog rätt neutrala, själv är jag övervägande positiv till Texas Instruments just eftersom de tar fram räknarna i samråd med lärare och vill att de ska kunna användas som inlärningsverktyg snarare än bara som räkneverktyg.
Jag har valt att bli T3-instruktör eftersom jag känner att det ger mig ett utrymme att utvecklas i, både pedagogiskt och tekniskt.
Författarna slår ned på främst fyra punkter. Dessa är:
– Att grafritande miniräknare ofta används på ett destruktivt sätt i undervisningen; träning av grundläggande räknefärdighet uteblir då miniräknaren alltid finns till hands.
– Den matematikdidaktiska forskningen har inte på något tydligt sätt kunnat påvisa generella positiva effekter på matematisk begreppsbildning och förståelse vid användning av symbolhanterande miniräknare i undervisningen.
– De avancerade miniräknarna (grafritande och symbolhanterande) används inte i någon nämnvärd grad som verktyg i vardagsliv, yrkesliv eller vid högskolan.
– De symbolhanterande miniräknarna är dyra, priserna ligger på 1500-2000 kronor.
Den första punkten är enligt min mening den mest intressanta. Jag menar att det är fullt möjligt att författarna har rätt. Räknare används ofta slentrianmässigt i undervisningen. Det pedagogiska användandet av räknarna förekommer, men tyvärr inte i den omfattning man skulle kunna önska. Frågan är vad man drar för slutsatser av detta faktum.
Författarna drar uppenbarligen slutsatsen att räknarna är av ondo. Det är räknarna som försvagar undervisningen. Jag skulle tro att det var det som de katolska prästerna kände när Galileo började utföra sina experiment också. Vad ska mänskligheten ha vetenskapen till? Är vi inte lyckligare utan? Att på detta sätt demonifiera verktyget när det i själva verket handlar om människorna känns lite för simpelt tycker jag.
Så låt oss uppehålla en stund vid människorna. För vad författarna säger mellan raderna är att som grupp betraktat är det svenska matematiklärarkollektivet oförmöget att använda räknare på ett pedagogiskt sätt. Det skrämmande här är kanske att jag håller med dem.
Ja, jag ser alltså att just nu, i skrivande stund, så kan de flesta matematiklärare i Sverige inte tillräckligt om räknare - avancerade eller ej - för att kunna använda dem på ett pedagogsikt riktigt sätt i klassrummet (lysande undantag finns givetvis). De flesta ser på räknaren som just ett räkneverktyg - inte ett inlärningsverktyg.
Traditionellt har vi i matematikundervisningen haft två ingångar till matematiken, dels läraren och dels läroboken. Nu finns en tredje ingång till matematiken som fortfarande är så ny att väldigt få inser dess potential - räknaren. Hur mycket matematik skulle man inte kunna lära sig om man slängde ut läroboken och koncentrerade sig på att lära sig räknaren i ett par veckor?
Men slutsatsen av detta kan varken bli att förbjuda räknare på prov eller att diskvalificera Sveriges samlade matematiklärarkår för all framtid. Slutsatsen måste i stället bli att det behövs mer lärarfortbildning, och här måste lärarhögskolorna ta sitt ansvar. Hur kan man idag släppa ut matematiklärare som aldrig vare sig fått eller behövt lära sig använda miniräknare, grafräknare och symbolhanterande räknare i sin utbildning?
Det är pga bristen av denna utbildning hos matematiklärare idag som Texas Instruments som företag och vi T3-instruktörer ska ses. Om lärarna kunde hantera dessa hjälpmedel skulle vi inte behövas.
Teknologin är relativt ny och väljer som all teknologi sin egen väg oavsett hur mycket som forskas om den. Samhället har att anpassa sig. Det är värt att poängtera att matematiken som forskningsfält har genomgått en tyst revolution och är i dag inne i en guldålder just pga datorernas genombrott. Vad är inte en grafräknare om inte just en pedagogisk undervisningsdator med möjlighet till filöverföring och programmering? Skulle dessa verktyg bli bannlysta på prov? Ja, säkert om man fortfarande anser att man ska kunna allt i huvudet, men de som anser det blir nog allt färre.
Snarare är det väl så att prov behöver vara av olika slag. Redan idag finns det olika delar på de nationella proven - en del där räknaren inte får användas och en del där den får användas - så vad är problemet? Det går f.ö. alldeles utmärkt att konstruera uppgifter så att det framgår hur (och att) elever tänker. Författarna vänder sig inte just mot detta utan snarare mot att effekten av beslutet kommer att medföra ett genomslag på bred front. Jag säger: Lärare! Fortbilda er! Jag vet att ni har det tufft men ni har klarat av mer än 4 års högskolestudier redan. Varför skulle inte ni kunna lära er hantera detta verktyg på ett pedagogiskt lämpligt sätt?
Vad gäller de andra punkterna kan de relativt lätt avfärdas. I och med att teknologin är ny finns knappast några längre studier att tillgå. Detta förklarar även att de inte används i hem, på arbetsplatser och högskolor. Priset lär sjunka undan för undan. Vad gäller prioriteringen om eleven ska få behålla läroboken eller ej finns där väl inget motsatsförhållande till om eleven ska ha en räknare eller ej? Givetvis borde de ha båda men självklart spelar ekonomin roll.
Författarna är såvitt jag förstår högskolelektorer på Kungliga Tekniska Högskolan och Göteborgs Universitet. Jag har inte läst något av deras arbeten men jag noterar att de beskriver svepande (i ett citat från “Bergqvist”) att “internationell forskning slår fast…” utan att lämna referenser till denna forskning. Däremot är de pigga på att lämna referenser till egna arbeten. Lingefjärd har till och med doktorerat på matematisk modellering med tekniska hjälpmedel, speciellt på problem som är konstruerade så att räknarna inte kan representera dem korrekt! Det torde säga sig självt att även lärarstudenter har problem med uppgifter som är så speciellt konstruerade. Men hur ofta dyker dessa situationer upp i praktiken under t.ex. tre års matematikstudier på gymnasiet? Aldrig? En enda gång? Jag tror knappt att jag sett något sådant exempel själv under alla år jag använt grafräknare, dvs från 1988 till nu, i drygt 18 års tid. Det är möjligen så att jag är färgad av mina positiva erfarenheter av att använda grafräknare i undervisningen men det verkar som om Lingfjärd aktivt har sökt efter de problem som finns i stället för att försöka lösa dem.
Avslutningsvis vill jag sammanfatta så här:
Det är en stor pedagogisk uppgift att ta till vara de verktyg som bjuds och lära sig hantera dem på ett pedagogiskt lämpligt sätt. Lärarkåren är just nu i en fas som bäst beskrivs som en enorm kompetensutveckling vad gäller datorer, Internet och kommunikation. Att i det läget stänga dörrar kan i sämsta fall hejda kompetensutveckling och i bästa fall spränga dem.
den 27 november 2006
Jonas Hall
Mörbyskolan
http://www.morbyskolan.se
