Lärarlyftskurs med Cabri och Excel Tuesday, 25 March, 2008
Posted by themadmathematician in Cabri, Excel, Övrigt.add a comment
En kurs på STHlms universitet heter “Problemformulering och datorn som didaktiskt verktyg” och innehåller vad jag förstår bl.a. en Cabri-kurs och en Excel-kurs. Den har inte fått så mycket reklam ännu men det rör sig om en utbyggnadd av den tidigare kursen på 7,5 hp (5p) som enbart berörde problemformulering i Cabri. Meningen med denna, nya större, kurs är utvidga de olika miljöerna från “bara” dynamisk geometri (Cabri) till dynamiska beräkningar (Excel) och ytterligare ett program som jag inte vet vilket det är ännu. Då den förut gavs på kvartsfart under en termin ges den nu på helfart under en termin, alternativ kvartsfart under 2 år om jag förstår det rätt. I vilket fall 30 hp (20 “gamla” p). Det är bra att kunna testa på en klass samtidigt så jag tror att man kan läsa den samtidigt som man jobbar 50-75% beroende på hur mycket barn och lediga kvällar man har. Oavsett hastighet ges den som distanskurs med mycket processkrivande i Moodle eller liknande.
Jag gick den förut i den korta versionen och jag tyckte den var bra. Den handlar mycket om att formulera problem för eleverna så att de själva aktivt undersöker och upptäckter samband i laborativa miljöer som Cabri och Excel.
Ta chansen och sök!
Lärartävlingen Kappa 2007 Saturday, 17 November, 2007
Posted by themadmathematician in Cabri, Excel, Programs, TI, TI-Nspire.1 comment so far
Lärartävlingen Kappa 2007 – en matematiktävling för matematiklärare aktiva i skolan är nu i praktiken slut för denna gång. Jag var med och jag är stolt över att säga att jag tog mig till final, även om jag misslyckades totalt på sista uppgiften. Jag lyckades dock bäst av alla med extrauppgiften som skulle lösas samtidigt som sista uppgiften vilket jag givetvis är extra stolt över. Den lösningen är publicerad på Eduard Baumanns webbplats.
Här är länkar till mina bidrag i tävlingen:
Uppgift 2, uppgift 3 (innehåller även ett felaktikt induktionsbevis), uppgift 4, uppgift 5, Extrauppgiften.
Jag är också nöjd med min väldigt fullständiga lösning av uppgift 4 där jag ger en enkel och lättfattlig men oväntad geometrisk tolkning till ett svårt kombinatoriskt problem.
Men framför allt vill jag prata lite om att använda tekniska hjälpmedel vid problemlösing. Jag har under tävlingens gång använt mig av följande tekniska hjälpmedel:
- Skriva matematik i Word + Math Type / Equation Editor
- Använda Excel för att simulera Pascals triangel och liknande scenarios
- Använda problemlösaren i Excel för att söka numeriska minima på geometriska problem
- Använda TI-Nspire för att lösa ekvationssystem algebraiskt
- Skriva program för TI-Nspire för att hitta vissa typer av lösningar automatiskt
- Använda Cabri Geometri för att rita geometriska diagram
- Använda Cabri Geometri för att undersöka geometriska konstruktioner och söka minimala staketlängden på extrauppgiften
Dessutom har jag
- Sökt, sökt och sökt igen med Google
- Postat frågor i forum på Internet
- E-postat de som vet bättre
Det är med andra ord en formidabel vapenarsenal jag behövt använda mig av för att nå fram. man skulle kanske nå fram helt utan dessa hjälpmedel, på traditionellt sätt med penna och papper men jag måste säga att dessa hjälpmedel sparar enormt med tid och fungerar som laborativa miljöer i vilka man kan leka och experimentera sig fram till svaren på uppgifterna.
Ett exempel: I uppgift 4 skulle man undersöka en slags “avhuggen” eller “instängd” Pascals triangel. Numeriskt går detta bra att simulera i Excel förstås. Men nu gällde det att hitta en algebraisk lösning och Excel är ju inte algebraiskt, eller…?
Visserligen är det så men genom att subtrahera kända härledda termer från det simulerade svaret får jag en bild av differenserna (residues) som gör att jag kan “se” formen på näste term. Subtrahera även denna term så får jag nya, mindre differenser som gör att jag kan “se” en term till etc. Genom att på detta sätt hitta svaret på pragmatiskt sätt ser jag formen på svaret vilket hjälper mig att förstå och härleda ett teoretiskt uttryck senare. För den som är intresserad av en del avancerade tekniker med Excel kan ni titta på följande fil.
Eller se på arbetsgången för extrauppgiften. Först tänker man så man har en del idéer. Sedan bygger man olika modeller i Cabri Geometri för att mäta staketlängder. Nar man är rätt nöjd börjar man söka på nätet efter bättre lösningar. Efter mycket om och men hittar man slutligen en lösning som är sämre än sin egen. Men man hittar även fler idéer som visar att ens lösning inte är optimal så mna jobbar vidare och hittar ännu bättre lösningar samtidigt som man kontaktar personen som genererat lösningen på nätet. Efter lite utbyte av idéer genererar han en lösning baserad på mina idéer utfört i problemlösaren till Excel.
Vad kan man lära sig av detta som är användbart i undervisningen? Vad sägs om:
- Vikten av att ha många verktyg framför allt.
- Lösa problem och tala om problemlösningsprocessen?
- Vikten av att kunna känna igen när man kört fast och det är dags att byta strategi/verktyg.
- Förmågan att kunna skriva ned sina tankar och utkast, dels snabbt, dels välformulerat, dels i datorskrift.
- Lära sina elever att skriva matematik i Word! (Hur många lärare vet hur man gör upphöjda tal i Word? Multiplikationstecken? Grekiska tecken? Anpassar Word så att man kan skriva grekiska tecken och multiplikationstecken med enkla snabbkommandon som t.ex. Ctrl-punkt för multiplikation, Alt-A för alfa etc.)
Handen på hjärtat: Låter du dina elever lösa tillräckligt med problem?
Problemlösaren i Excel Saturday, 17 November, 2007
Posted by themadmathematician in Excel.1 comment so far
Jag hade nyligen tillfälle att återupptäcka problemlösaren i Excel. Det är ett helt underbart verktyg för lösning av ekvationer och olikheter. Det första man bör göra är att starta Excel och gå upp i menyn under “Verktyg” och välja “Tillägg”:
Där bockar du för Problemlösaren och klickar OK. Nu går du in i menyn under “Verktyg” och där har du nu ett nytt menyalternativ “Problemlösaren…”. Klicka på det…
Här ses ett exempel där jag har ett icke-linjärt ekvationssystem av tredje ordningen. Problemlöaren är inställd på att alla tre ekvationerna skall vara = 0 vilket man ställer in genom att använda bivillkor som kallas för “Begränsningar” . I detta exempel har jag dessutom döpt cellerna som innehåller ekvationerna till noll1, noll2, och noll3. Tittar man i formlerna så ser man att jag använt namnen x, y och x för cellerna B1, B2 och B3. Man döper celler genom att klicka i den lilla rutan ovanför cell A1 och skriva in valfritt namn. Det gör ofta formler lättare att förstå.
Här ovan ser vi cell B3 markerad och namngiven som “z”.
Det är värt att poängtera att problemlösaren inte automatiskt hittar alla lösningar eller ens en lösning om initialvärdena är väldigt fel. Det är värt att testa lite själv först för att sedan aktivara problemlösaren.
Det här är ett oerhört kraftigt verktyg som är lämpligt att visa på gymnasienivå.
Excel i klassrummet Monday, 20 August, 2007
Posted by themadmathematician in Excel, TI, TI-Nspire.add a comment
En viktig aspekt av teknologi i matematikundervisningen som jag ännu inte tagit upp är givetvis kalkylblad, vare sig det är MS Excel, applikationen CelSheet på TI-84, applikationen Lists and Spreadsheet på TI-Nspire eller något liknande program i andra sammanhang.
Ett kalkylblad är ett suveränt sätt att organisera dels stora mängder data, dels komplicerade strukturer med samband. En del av dessa program klarar dessutom av att rita diagram, andra, som TI-Nspire klarar även av symboliska beräkningar.
En enkelt, men ändå kraftfullt exempel på hur man kan använda kalkylblad i matematiken är att låta eleverna bygga Pascals Triangel. Pascals Triangel byggs som bekant upp rekursivt genom att varje tal är summan av de båda talen snett ovanför talet. Högst upp är det en ensam etta.
För att göra detta i t.ex. Excel skriver du in formeln =A1+C1 i cell B2. Efter du tryckt ENTER står det 0 i cellen eftersom både A1 och C1 är tomma. Kopiera nu innehållet i B2 till resten av området B2:V11. Det behöver inte vara just till V11 men det bör vara ungefär dubbelt så brett som högt. Kopieringen kan i Excel ske genom att dra i den lilla fyrkanten i nedre högra hörnet av ramen runt den markerade cellen. Mna måste då först dra nedåt och sedan åt höger. Alternativt kan du använda Ctrl-C och Ctrl-V.
Det som händer vid kopieringen är att formeln ändras när den flyttas. I t.ex cell E8 står det nu =D7+F7. Man säger att formeln är baserad på relativa referenser som bevaras vid flyttning och kopiering.
Detta är nu ett hav av nollor. Sätt nu en ensam etta i cell L1. Voilà, Pascals Triangel.
Tag bort den ettan och sätt en ny etta i cell B2. Voilà, Catalans triangel som är en annan taltriangel som ofta dyker upp inom matematiken. Ett exempel är på hur många sätt en regelbunden n-hörning kan delas in i trianglar. En triangel kan göra det på ett sätt, en kvadrat på två sätt, en femhörning på fem sätt… Detta är Catalantalen som är kolumnen längst till vänster i Catalans triangel.
Catalans triangel uppstår alltså ur samma strukturerade “fält” som Pascals triangel och har samma begynnelsevillkor men Catalans triangel har dessutom randvillkoret att alla värden till vänster om ettan skall vara =0.
För att få Excel att inte visa alla nollor går man in i menyn på Alternativ – fliken Visning och tar bort bocken i rutan för Nollvärden.
För att lära sig Excel bra bör man försöka bygga matematiska modeller, simuleringar och elevuppgifter i programmet. Här är några föslag att börja med:
- Mata in ettor i två celler. Beräkna summan, differensen, produkten och kvoten av dem. En ändrar på ett tal för att få t.ex. summan = antal prickar på tärningen. Därefter turas man om att ändra “sitt tal” så att i tur och ordning summan, differensen, produkten och kvoten blir vad tärningen dikterar. Det gäller att klara alla.
- Mata in 440 i en cell. I cellen nedanför multiplicerar du detta med 12:e roten ur 2. Kopiera denna formel 11 ggr så får du 2 till slut. Jämför dessa beräknade frekvenser med de faktiska på ett piano.
- Använd slumpfunktionerna för att bygga en 7-sidig tärning. Hur kan detta användas i klassrummet?
