Ett samband är matematikens motsvarighet till ett påstående: 1 + 2 = 3
En ekvation är matematikens motsvarighet till en fråga: 1 + x = 3

Till detta projekt gjorde en kort PowerPoint-presentation.

Sedan visade jag hur man mycket enkelt kan leka med ekvationer för små barn i Word (som en introduktion – sen är det nog bra om de får pröva själva med stenar eller knappar.

I Excel kan man kombinera tal (exempel) med figurer (diagram) när man visar t.ex. 10-kamrater eller enkla ekvationer. Man kan även göra tabeller och grafer. Dessutom finns ju problemlösaren.

I några av dessa Excel-filer har jag använt mig av rotationsknappar så man kan ändra värdet med ett enkelt klick. Det går kortfattat till så att man i menyn väljer Visa – Verktygsfält och väljer verktygsfältet “Formulär”. Sedan väljer man en rotationskontroll (två pilar) och klickar och drar upp kontrollen där man vill ha den. Högerklicka sedan på den och skriv in en cell i “cellreferens”. Det är den cellen som du sedan kan ändra värde på. Justera även min- och maxvärden m.m. Observera att du inte får ha mindre värden än 0 och inte får stega i mindre steg än 1 så du kan ibland behöva använda en formel för att få något användbart.

Om du t.ex. vill kunna bläddra bland 51 olika värden mellan -1 och 4 i steg om 0,1 så ställ in min=0 och max =50. Om kontrollen är kollad till A1 kan du i B1 ange formeln

=-1+A1/10

Varefter du använder värdena i B1.

På Internet finns många bra Java-applets. I detta Worddokument har jag listat adresserna till 4 olika jag tyckte om.

I gratisprogrammet GeoGebra som är Javabaserat och därför lättinstallerat på alla datorer kan man visa på enkla samband som a + b = c och a·b = c, men framför allt åskådliggöra grafer dynamiskt och lösa ekvationer grafiskt. Man kan även visa hur den gamla Regula Falsi-metoden fungerade (jmf med sista bilden i presentationen)

Man kan avslutningsvis säga att du med moderna datorer och metoder inte längre behöver introducera ekvationer med orden “Tänk på ett tal…”, utan kan använda dig av mycket mer realistiska exempel och en mångfald av representationer för att beskriva strukturerna för eleverna.

Det finns tre distinkta steg när man ska rita grafer i Excel.

1. Ordna lämpliga x-värden
2. Beräkna y-värden från x-värdena
3. Rita diagrammet

1: Ordna lämpliga x-värden

Excel har ju en underbar “utfyllnads”-funktion som innebär att det räcker med att dra ut en markering för att innehållet ska kopieras till de tomma cellerna man drar ut innehållet till. När en eller flera celler är markerade finns det en liten svart fyrkant längst ned till höger i markeringen. Drar man i den kommer innehållet i markeringen att dras ut till resten av cellerna. Markören blir ett smalt svart kors när du pekar på kvadraten.

Om markeringen innehåller exakt två celler med två olika värden så kommer Excel att fylla på med celler som har efterföljande värden.

För att få lagom många x-värden från -5 till 5 kan man alltså göra så här:

• Skriv “x” i cell B2 (Jag brukar alltid lämna rad 1 och a-kolumnen tomma för att få plats med sådant jag glömt).
• Skriv -5 i cell B3 och -4.8 i cell B4.
• Markera Cell B3 och B4.
• Dra den svarta kvadraten så att du fyller i t.o.m. cell B53.

Du får nu en jämn sekvens av värden mellan -5 och 5.

2: Beräkna y-värden från x-värdena

Antag att du ska söka skärningspunkterna mellan graferna y=3x-1, y= 4+x-x^2 och y=2^x. Detta tycker jag är en fullt rimlig uppgift i år 9 då man ritar grafer och är bekant med potenser – man behöver ju inte gå in på generella lösningar av andragradsekvationer eller exponentialfunktioner om man inte vill. Det går ju utmärkt att hitta lösningar grafiskt.

Skriv funktionerna som de står i cellerna C2-E2. Skriv inte “=” först, vi vill bara ha en rubrik. För att skriva x “upphöjt till” 2, brukar man använda tecknet “^”. Skriv alltså “x^2″.

I cell C3 skriver du “=3*B3-1″.

• I cell D3 skriver du “=4+B3-B3*B3″. Det enklaste sättet att skriva en kvadrat är helt enkelt att skriva ut multiplikationen. Annars måste man använda funktionen “=upphöjt.till(tal;exp)” och skriva =4+B3-uppöjt.till(B3;2)”
• I cell E3 måste vi alltså skriva =upphöjt.till(2;B3)”.

Lägg märke till att det skall vara semikolon mellan de olika argumenten i en funktion.

Nu markerar du cellerna C3-E3 och drar sedan ut dessa nedåt för att generera y-värdena automatiskt.

3: Rita diagrammet

Det är viktigt att layouten är korrekt innan man startar med att rita diagrammet. Varje kolumn skall ha en rubrik, x-värdena skall vara längst till höger och det får inte finnas tomma kolumner i mitten. Då blir det enklast.

Markera hela tabellen dvs allt från B2 till E53. Klicka sedan på Knappen som heter “Diagramguiden”.

Välj “Punktdiagram”  och markera den variant där du får jämnt anpassade kurvor till punkterna. Om du vill kan du förhandsgranska diagrammet.

Klicka på “Slutför” så lägger sig diagrammet som en bild över excelbladet. Du kan givetvis ändra storlek och flytta på diagrammet.

Finesser

Diagrammet uppdateras om du ändrar värdena men kom ihåg att det är definierat från värden i cellerna B2 till E53. Om du ändrar antalet värden så får du antagligen göra om diagrammet.

Ett annat sätt att generera x-värden som gör det lättare att välja nya värden är att sätta ett lägsta och ett högsta x-värde och sedan låta Excel räkna ut alla värden däremellan.

Sätt högsta och minsta x-värdena i cellerna C1 och E1. I B1 och D1 kan du skriva “Min:” och “Max:”.

I A3 skriver du 0 och i A4 skriver du 1. Sedan Markerar du A3 och A4 och drar ut detta så du får alla värden från 0 till 100 i A-kolumnen. I B3 skriver du sedan formeln “=A3*($E$1-$C$1)/100+$C$1″.

Dollartecknen talar om för Excel att inte ändra det som kommer efter när formeln kopieras. Drar man ut denna formel – med den lilla svarta fyrkanten – ned till B102 så kommer det där att stå “=A102*($E$1-$C$1)/100+$C$1″. Excel har uppdaterat A3 till A102 men låtit B1 och D1 vara som de är pga dollartecknen.

I Excel kallas “A3″ för en relativ referens till B3. Internt kommer Excel ihåg det som  “ett steg åt vänster”. “$C$1″ däremot kallas för en absolut referens och lagras internt som “det som finns i C1″.

Nu gör man y-värden och diagram som förut. Vill man ändra x-värden gör man det i C1 och E1. Fundera igenom hur formeln fungerar så att du förstår det.

Här är den färdiga Excel-filen.

Det finns givetvis program som är mer lämpade för att rita grafer på nätet.

Om skolan arbetar mycket med matematik och IT kanske Autograph, som i Sverige säljs av David Sjöstrand, http://www.ydsa.se, kan vara ett alternativ. Det har en hel del pedagogiska finesser som de flesta gratis-grafräknarprogram saknar. Låta kurvan växa fram långsamt, markera punkter, parameteranalys med enkel zoomning i parameterhoppen m.m.

Jämför med att åka skidor. Du har åkt pulka i hela ditt liv men nu åker ni till slalombacken och spänner på dig ett par slalomskidor. Du spenderar några timmar i pulkabacken för att lära dig grunderna med balans, plogning och stavar och just när de flesta skulle tagit liften upp till första blåa backen så packar ni ihop och åker hem.

Snopet? Problemet är att eleverna inte vet vad Excel kan klara av så de blir inte snopna, men de är heller inte dumma. De förstår att de de just gjort är att åka skidor i en pulkabacke. De var liksom lättare med pulkan, inga stavar och pjäxor som måste hållas reda på.

Så eleverna lär sig att det finns ett program som kan göra diagram och räkna medelvärden och att det är minst lika lätt att göra det själv, i huvudet eller med räknare. Man slipper det där med dator och det går fortare. De vet inte att det finns härliga backar att åka i där pulkan inte duger, att det finns matematik och problem att undersöka som räknaren och pennan inte klarar av – för ingen har tagit med dem upp i liften.

Därför har jag beslutat mig för att starta en Excelskola för matematiklärare där jag visar på tekniker och problem som lätt hanteras i Excel av elever i skolår 6 och uppåt om bara deras lärare tar med dem i liften.

Dessa problem och tekniker kommer att presenteras utan direkt ordning. Vi förutsätter att läraren först klarar av det grundläggande med sin klass vilket utan omsvep definieras som:

• Grundläggande terminologi och information om celler, rader, kolumner och kalkylblad (flikar).
• Grundläggande information om enkla formler, =A1+B1, =MEDEL(C1:C8), =MEDIAN(B2:F2) och hur man kan klicka och dra på celler för att Excel automatiskt ska fylla i områden som är argument till funktioner.
• Dessutom får man anse att det är grundläggande att lära sig hantera kopieringshandtaget, dvs den lilla svarta fyrkanten längst ned till höger i den markerade cellen eller området. Om man drar i den kopieras formler, värdeserier, veckodagar m.m. på ett “smart” sätt. Om du är obekant med detta så starta programmet och testa själv, eller be någon visa dig.

För att låta eleverna träna på detta under en första lektion i datasalen brukar jag be eleverna surfa till http://lib.stat.cmu.edu/DASL/ (klicka på Data Subjects) eller något annat ställe där det finns massor av olika enkla datamängder. De får välja varsin datamängd med minst två beräkningsbara kolumner att kopiera in i Excel.

Kopiera först in i ett tomt textdokument och sedan vidare in i Excel för att bli av med all html-kod.
Sedan behöver eleverna göra en “Search-and-replace” där de byter ut alla punkter mot kommatecken. Detta kommando är Ctrl-H i svenska versioner av Excel.

Sedan sätter vi igång med det egentliga arbetet. De får beräkna antalet värden, medelvärde, median, kvartiler (=kvartil(A2:A9;1) ger undre kvartilen, byt ut 1 mot 3 så fås övre kvartilen – vad händer om du sätter in 0,2 eller 4 i stället?) samt max och minimivärden för denna datamängd. Hela raddan med beräknade värden kan sedan markeras och kopieras i sidled till nästa kolumn.

För att sätta lite piff på det hela brukar jag låta eleverna låta Excel automatiskt markera största och minsta värdet i datamängden med olika färger. Detta går att göra med ett utomordentligt verktyg som heter Villkorsstyrd formatering i Format-menyn.

Markera först en kolumnens datavärden. Starta sedan den villkorsstyda formateringen och säg att särskild formatering skall tillämpas om cellvärdet är lika med cellen med maxvärdet. Lämpligt format kan vara fet stil och annan bakgrundsfärg. Voilà, maxvärdet står ut bland de andra värdena och är lätt att hitta. Upprepa för minimivärdet och upprepa igen för varje kolumn. Avancerade kan kopiera och “klistra in special” och välja att bara kopiera in format.

Och så här blir det:

Det här kan vara en lämplig första (obs: första – inte sista) lektion/lektionsgrupp. Beroende på ambition kan man låta eleverna spara sitt resultat och sedan e-posta filen till sin mejl. Både bilaga och meddelanderubrik bör då vara elevens namn, klass och uppgiftsnummer, t.ex. JohanP_8b_uppg1 eller liknande. Elever som jobbat tillsammans bör lämna in var och för sig och se till att spara en kopia var.

En annan fördjupning – som kan ta tidsåtgången upp till två lektioner är att låta eleverna kortfattatt, direkt i Excel (i en cell eller i en textruta) skriva en kortfattad regogörelse för varför medianvärdena och medelvärdena skiljer sig (om de gör det).

Lägg märke till att eleverna fick hämta riktiga data på nätet och sedan använda villkorsstyrd formaterring för att lättare kunna identifiera största och minsta värdena. Jag tycker dessa båda enkla fördjupningar är det som ger riktig kvalitet åt denna lektion.

Här är den färdiga excel-filen.

 för att få fram följande verktygsfält i nederkant på skärmen:

Om man klickar på “Rita” längst till vänster dyker “huvudmenyn” upp.

Det viktigaste här är att förstå rutnätet. Varje gång man skapar t.ex. en rektangel så kommer hörnen att lägga sig på punkter i rutnätet vilket gör att det lir relativt lätt att få figurer som har exakt samma storlek och lägger sig snyggt bredvid varandra. Jag brukar ställa in ett avstånd på 0,5 eller 1 cm när jag jobbar med rutnätet.

Ska man sedan göra en rektangel eller annan figur (det finns många olika att välja på under “Figur”) så klickar man på rektangelknappen och “drar upp” rektangeln.

Dubbelklickar man på den kommer man till dialogrutan för inställningarna. Man kan ändra färg, linjetyp och linjefärg, transparens (ska den vara genomskinlig eller ogenomskinlig?), storlek, rotation och en hel del annat.

Många rektanglar i rätt färger kan t.ex. bli en uppsättning med cuisinairstavar. Plötsligt blev det matematik av figurerna. Genom att göra det i Word kan man, om man har projektor i klassrummet, visa alla samtidigt på ett sätt man inte kan göra med det laborativa materialet. Man kan även använda det som mallar för att klippa ut och laminera eget material.

Här är ett antal olika Word-dokument som jag lekt med.

Färgade stenar, cuisinairstavar, Fyll kvadraten med smådelar (för att visa att 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + …), gömda ord (à la smartboard), magisk kvadrat, tangram och venndiagram.

Det går utmärkt att göra detta i Powerpoint också men det är lite pilligt att få till exakta rörelsebanor. Här är mitt första försök.

Här är en Excelfil  och en Cabrifigur och en till cabrifigur som också skulle kunna användas för att åskådliggöra bråkbegreppet.

Man kan även söka efter java-applets, t.ex. har jag hittat denna, denna och denna.

Det här tar lång tid att skriva upp på whiteboard-tavlan men går enkelt att simulera i Excel. Ett enkelt försök till detta finns i denna fil. I rad två skriver man upp de talen man testar med varvid tal i b-kolumnen sållas bort. Tyvärr sållas även första instansen av talet bort så innan man presenterar den för eleverna skulle den behöva fixas till lite, t.ex. men en egen kolumn för primtal som hämtar data från både kolumnen och raden med tal man testar med men jag kommer inte att hinna göra detta på ett tag så det är upp till er att fixa.

Upptäcka, utforska och generalisera är tre nyckelord som genomsyrar mitt sätt att arbeta med matematiken och framför allt geometrin. Jag är övertygad om att detta arbetssätt leder till bestående kunskap. 

Det här är nyckelord även inom problemlösning. Jag har en del tankar om något jag kallar “Generella verktyg”. Verktyg där det är lätt att strukturera och bygga upp ny information och nya verktyg i verktyget. Verktyg som Cabri, Excel, Papper och Penna. Dessa verktyg karakteriseras också av Lils ledord upptäcka, utforska och generalisera.

Jag är för all del inte ensam där. Helena Karis, biträdande rektor på Matteusskolan, pratar om matematikchattar, Ove Engström på Häggvikskolan berättar om deras podsändningar, Anna Svärd från Ehrensvärdska gymnasiet i Karlskrona spelar in lektioner, Fredrik Wall på Sofia Distans redogör för Webbmatte, Stockholms satsning på matte på hemspråk och Georg Lewin, på Åsö vuxengymnasium i Stockholm lägger ut texten om alla webbresurser han listat.

Ett filmteam, hör och häpna, har gjort ytterligare en intervju med mig då jag körde Excel i en nia. Den ska komma ut på nätet i September.

För att fira min framtida anställning på Lärarutbildningen på Stockholms Universitet (forna lärarhögskolan) så tänkte jag gå igenom problemet igen och lösa det med olika tekniska hjälpmedel. Kostigt sätt att fira? Inte för The Mad Mathematician!

Uppenbarligen ligger tyngdpunkten på symmetrilinjen, frågan är hur högt upp. Om vi antar att radien är 1 kommer avståndet från centrum av cirkeln till tyngdpunkten, h < 0,5.

Här är resonemanget:

Arean på nederdelen av halvcirkeln skall vara lika med arean på segmentet. Arean på nederdelen = arean på halvcirkeln – arean på segmentet.
Arean på segmentet = arean på sektorn – arean på trianglen.
Arean på sektorn = arean på cirkeln * vinkeln / 360
Arean på cirkeln = Pi.
Arean på triangeln = h · b, där b = √(1 – h²)

Detta kan sammnfogas till följande uttryck som nästan bara beror av h:

π/4 = π · θ /180 – h · √(1 – h²)

Men jag redan då grunderna i trigonometri för jag visste att cos(θ) = h. Det jag sedan gjorde imponerar mig fortfarande. Jag löste ut h som funktion av h!

h = cos[180/π · (π/4 + h√(1 - h²)]

Jag stoppade in h = 0,5 på högersidan och fick ut ett nytt värde på h, som jag på nytt stoppade in i högersidan och fick ett nytt värde på h… Jag hade uppfunnit rekursion! Man får h ≈ 0,40397…

Då hade jag en enkel gymnasieräknare. Nu gick det mycket lättare med en modern grafräknare där man kan upprepa hela föregående beräkning genom ett tryck på enter.

I Cabri löste jag nu problemet dynamiskt. En flernivå-slider styr positionen av en punkt på symmetrilinjen och med den inbyggda räknaren kan jag mäta och beräkna de ingående areorna. Den slider jag använt är en 10-nivåslider där varje nivå är en slider som genererar ett tal mellan 0 och 1.

I Excel använde jag mig av problemlösaren. Det hade gått utmärkt att använda målsökaren men i problemlösaren går det att ställa in högre precision. Problemlösaren är ett tilläggsmakro som måste aktiveras innan det går att använda. Det gör man i menyn under Verktyg/Tillägg…

I både problemlösaren och målsökaren anger man värdet på h som det som får ändras och t.ex. skillnaden mellan de båda areorna som det värde som skall bli = 0.

Målsökning och problemlösaren är exempel på sådant som Excel kan göra men som inte det annars utmärkta kalkylmodulen i TI-nSpire klarar av. Det TI-nSpire däremot klarar är att helt enkelt lösa ekvationen direkt. Visserligen inte symboliskt men kommandot solve(π/4 = π · cos^-1(h) /180 – h · √(1 – h²))| h < 1, h > 0 ger rätt numeriskt svar efter bara någon sekund.

Den fjärde metoden jag använde mig av nu i modern tid för att avgöra problemet med tekniska hjälpmedel var Internet. Men nu blev det intressant. Standardresultatet är 4/3π = 0,422… Det stämmer ju inte! Sakta insåg jag att jag inte bestämt någon tyngdpunkt utan bara den linje som delar arean i lika delar. För att bestämma tyngdpunkten måste man leka med t.ex. moment = avstånd gånger kraft för en summa av infinitesimala band.

Så efter alla dessa år vet jag nu vad jag gjorde. Där ser man!

Problem: Eleverna behöver mer träning på en viss typ av uppgifter, t.ex. multiplikationstabellen, multiplicera och dividera med 10, 100 och 1000, huvudräkningsträning med konjugatregeln eller kvadrering av tal som slutar på 5 m.m.

Traditionellt fick man skriva ner uppgifterna själv, och springa till kopiatorn. Nu vill man skriva ned dem i Word, vilket tar längre tid, men blir snyggare och trycka ut rätt antal på sin lokala skrivare, men ändå. Nästa gång vill de ha ännu fler uppgifter, Kalle behöver träna på “lilla multiplikationstabellen och några skulle behöva få testa på en 12×12-tabell. Hur många iólika arbetsblad ska man egentligen behöva producera?

Lösningen är att skapa arbetsbladen i Excel. Med hjälp av slumpfunktioner fås olika uppgifter på olika rader och med hjälp av ställbara parametrar kan man variera uppgifternas svårighet.

Jag har gjort två sådana excelark. Eftersom de genererar arbetsblad kallar jag dem för generatorer. Den ena genererar uppgifter där eleven ska multiplicera, addera eller subtrahera 2-4 tal med varandra, t.ex. tabellträning, addition av tresiffriga tal, multiplikation med minnessiffra etc. Den ger inget facit. Den andra genererar uppgifter där eleven skall multiplicera eller dividera (eller båda) tal med 10, 100, 1000 etc. Den genererar ett facit.

De kan laddas ned här: Huvudräkning och Huvudräkning101001000

Hur bygger man då en sådan generator. Det bästa är att ladda ned dem och studera formlerna samtidigt som jag visar några av de viktigaste finesserna.

Slumptal
Det finns en funktion i Excel som heter Slump(). Den genererar ett slumptal mellan 0 och 1. Om man vill ha ett slumpmässigt heltal mellan t.ex. 3 och 8 (fr.o.m. 3 t.o.m. 8 ) kan man multiplicera detta slumptal med 6 (skillnaden+1), lägga till 3 (nu har vi tal från 3,000… till 8,999) och ta heltalsdelen av detta. Om 3an finns i cell A1 och 8an finns i cell A2 blir formeln i Excel =heltal(A1+(A2-A1+1)*slump()).

Konvertera tal till text
Så nu har vi slumpmässiga heltal. Man dessa skall formateras till fin text med  multiplikationstecken och allt. Excel har en funktion som heter Text(tal;format). “Format” är lämpligt att ha = 0 eller texten “Standard”. För att sätta ihop olika tal används funktionen sammanfoga(text1;text2;text3…). Här är ett exempel som genererar en multiplikationsuppgift:

=SAMMANFOGA(TEXT(HELTAL(SLUMP()*(A$44-A$43+1)+A$43);0);”·”;TEXT(HELTAL(SLUMP()*(B$44-B$43+1)+B$43);0))

Det här exemplet bygger på att första talet skall vara mellan talen i A43 och A44 och det andra är mellan B43 och B44. Observera multiplikationstecknet! Det är en symbol som kallas “middle dot” i Words “infoga symbol”-dialog. Det ligger efter de vanliga bokstäverna direkt efter paragraftecknet (det bakvända feta P’t).

Absoluta referenser 
Dollartecknen framför radnumrena 43 och 44 i formeln talar om för Excel att dessa inte skall ändras när formeln kopieras ned från första raden. Om man trycker på F4 kommer dollarteckena automatisk i den cellreferens markören just nu står i. Tryck upprepade gånger på F4 så får du olika varianter: dollartecken på både rad och kolumn, bara rad, bara kolumn eller inte alls.
En cellreferens med dollartecken kallas för “absolut referens”, till skillnad från de relativa referenser Excel vanligen använder.

Organisera arbetet
Det kan lätt bli komplicerat i Excel. Då kan man organisera arbetet genom att arbeta ett steg i taget, från vänster till höger, på ett blad och sedan göra layouten snygg på ett annat blad. Så har jag gjort i “10, 100, 1000″-generatorn. På bladet “Inställningar” finns de ställbara parametrarna och en hel rad av beräkningar för varje uppgift.

Välja slumpmässigt i en lista
I den generatorn visar jag också hur man kan använda funktioner för att välja ett slumpmässigt alternativ ur en lista. Formeln som ska användas är Letarad(Värde, tabell, kolum). Denna funktion letar i en tabell i kolumn ett efter Värde och returnerar motsvarande värde från angiven kolumn.

Ett exempel är följande: =LETARAD(N20;$C$11:$D$17;2), där N20 ges av formeln N20=HELTAL(SLUMP()*O20+1). Vi letar alltså upp ett slumpmässigt värde i kolumn 2 i tabellen C11:D17. O20=ANTAL($D$11:$D$17) och anger alltså maxvärdet för slumptalet. Det är ju ingen idé att slumpa fram en 5:a om det bara finns tre värden i tabellen.

På detta sätt bygger man försiktigt upp sitt första exempel steg för steg på en rad. Sedan kopierar man dett så många rader man vill och ordnar till sin layout på ett annat blad.