jump to navigation

Lil Engström om Cabri och Geometriundervisning på Multimediabyrån Sunday, 25 May, 2008

Posted by themadmathematician in Cabri, Excel, Press, Sites.
add a comment

På multimediabyrån har Lil Engström blivit intervjuad om Geomtri och Cabri:

Upptäcka, utforska och generalisera är tre nyckelord som genomsyrar mitt sätt att arbeta med matematiken och framför allt geometrin. Jag är övertygad om att detta arbetssätt leder till bestående kunskap. 

Det här är nyckelord även inom problemlösning. Jag har en del tankar om nÃ¥got jag kallar “Generella verktyg”. Verktyg där det är lätt att strukturera och bygga upp ny information och nya verktyg i verktyget. Verktyg som Cabri, Excel, Papper och Penna. Dessa verktyg karakteriseras ocksÃ¥ av Lils ledord upptäcka, utforska och generalisera.

Kraftfulla verktyg för matematikundervisningen Thursday, 15 May, 2008

Posted by themadmathematician in AboutMe, Excel, Press, Sites.
add a comment

Så har man blivit intervjuad av Myndigheten, minsann. De har rätt nyligen lanserat ett tema: Matematik och IT  på sin webbplats IT för pedagoger. Där finns jag nu intervjuad och får uttrycka mina tankar om teknologi i matematikundervisningen.

Jag är för all del inte ensam där. Helena Karis, biträdande rektor på Matteusskolan, pratar om matematikchattar, Ove Engström på Häggvikskolan berättar om deras podsändningar, Anna Svärd från Ehrensvärdska gymnasiet i Karlskrona spelar in lektioner, Fredrik Wall på Sofia Distans redogör för Webbmatte, Stockholms satsning på matte på hemspråk och Georg Lewin, på Åsö vuxengymnasium i Stockholm lägger ut texten om alla webbresurser han listat.

Ett filmteam, hör och häpna, har gjort ytterligare en intervju med mig då jag körde Excel i en nia. Den ska komma ut på nätet i September.

Tyngdpunkten på en halvcirkel Wednesday, 16 April, 2008

Posted by themadmathematician in AboutMe, Cabri, Excel, TI.
add a comment

Ett av mina tidiga minnen av matematik var när jag en regnig dag på kollo ca 1975-76 fick för mig att bestämma tyngdpunkten på en halvcirkel - och lyckades. Jag var antagligen ca 12-13 år då och det slår mig att jag kunde rätt mycket för min ålder. Men mer intressant är att jag tidigt hade en säregen egenskap att kunna upptäcka matematik.

För att fira min framtida anställning på Lärarutbildningen på Stockholms Universitet (forna lärarhögskolan) så tänkte jag gå igenom problemet igen och lösa det med olika tekniska hjälpmedel. Kostigt sätt att fira? Inte för The Mad Mathematician!

08-04-13-110 Tyngdpunkten på en halvcirkel

Uppenbarligen ligger tyngdpunkten på symmetrilinjen, frågan är hur högt upp. Om vi antar att radien är 1 kommer avståndet från centrum av cirkeln till tyngdpunkten, h < 0,5.

Här är resonemanget:

Arean på nederdelen av halvcirkeln skall vara lika med arean på segmentet. Arean på nederdelen = arean på halvcirkeln - arean på segmentet.
Arean på segmentet = arean på sektorn - arean på trianglen.
Arean på sektorn = arean på cirkeln * vinkeln / 360
Arean på cirkeln = Pi.
Arean på triangeln = h · b, där b = √(1 - h2)

Detta kan sammnfogas till följande uttryck som nästan bara beror av h:

π/4 = π · θ /180 - h · √(1 - h2)

Men jag redan då grunderna i trigonometri för jag visste att cos(θ) = h. Det jag sedan gjorde imponerar mig fortfarande. Jag löste ut h som funktion av h!

h = cos[180/π · (π/4 + h√(1 - h2)]

Jag stoppade in h = 0,5 pÃ¥ högersidan och fick ut ett nytt värde pÃ¥ h, som jag pÃ¥ nytt stoppade in i högersidan och fick ett nytt värde pÃ¥ h… Jag hade uppfunnit rekursion! Man fÃ¥r h ≈ 0,40397…

Då hade jag en enkel gymnasieräknare. Nu gick det mycket lättare med en modern grafräknare där man kan upprepa hela föregående beräkning genom ett tryck på enter.

I Cabri löste jag nu problemet dynamiskt. En flernivå-slider styr positionen av en punkt på symmetrilinjen och med den inbyggda räknaren kan jag mäta och beräkna de ingående areorna. Den slider jag använt är en 10-nivåslider där varje nivå är en slider som genererar ett tal mellan 0 och 1.

I Excel använde jag mig av problemlösaren. Det hade gÃ¥tt utmärkt att använda mÃ¥lsökaren men i problemlösaren gÃ¥r det att ställa in högre precision. Problemlösaren är ett tilläggsmakro som mÃ¥ste aktiveras innan det gÃ¥r att använda. Det gör man i menyn under Verktyg/Tillägg…

I både problemlösaren och målsökaren anger man värdet på h som det som får ändras och t.ex. skillnaden mellan de båda areorna som det värde som skall bli = 0.

08-04-13-109 Tyngdpunkten på en halvcirkel

Målsökning och problemlösaren är exempel på sådant som Excel kan göra men som inte det annars utmärkta kalkylmodulen i TI-nSpire klarar av. Det TI-nSpire däremot klarar är att helt enkelt lösa ekvationen direkt. Visserligen inte symboliskt men kommandot solve(π/4 = π · cos-1(h) /180 - h · √(1 - h2))| h < 1, h > 0 ger rätt numeriskt svar efter bara någon sekund.

Den fjärde metoden jag använde mig av nu i modern tid för att avgöra problemet med tekniska hjälpmedel var Internet. Men nu blev det intressant. Standardresultatet är 4/3Ï€ = 0,422… Det stämmer ju inte! Sakta insÃ¥g jag att jag inte bestämt nÃ¥gon tyngdpunkt utan bara den linje som delar arean i lika delar. För att bestämma tyngdpunkten mÃ¥ste man leka med t.ex. moment = avstÃ¥nd gÃ¥nger kraft för en summa av infinitesimala band.

Så efter alla dessa år vet jag nu vad jag gjorde. Där ser man!

Generera arbetsblad i Excel Saturday, 5 April, 2008

Posted by themadmathematician in Excel, Programs.
add a comment

Excel är ett utmärkt program för matematik. Inte bara för att göra diagram, eller sköta sin bokföring med, utan för att det är programmerbart. I det här fallet ska jag inte visa hur man programmerar Excel, men jag ska visa några exempel på hur man med formler kan bygga upp ett beteende som påminner om program som en gång i tiden kunde köpas för dyra pengar. Vi ska titta på hur man bygger generatorer för arbetsblad.

Problem: Eleverna behöver mer träning på en viss typ av uppgifter, t.ex. multiplikationstabellen, multiplicera och dividera med 10, 100 och 1000, huvudräkningsträning med konjugatregeln eller kvadrering av tal som slutar på 5 m.m.

Traditionellt fick man skriva ner uppgifterna själv, och springa till kopiatorn. Nu vill man skriva ned dem i Word, vilket tar längre tid, men blir snyggare och trycka ut rätt antal pÃ¥ sin lokala skrivare, men ändÃ¥. Nästa gÃ¥ng vill de ha ännu fler uppgifter, Kalle behöver träna pÃ¥ “lilla multiplikationstabellen och nÃ¥gra skulle behöva fÃ¥ testa pÃ¥ en 12×12-tabell. Hur mÃ¥nga iólika arbetsblad ska man egentligen behöva producera?

Lösningen är att skapa arbetsbladen i Excel. Med hjälp av slumpfunktioner fås olika uppgifter på olika rader och med hjälp av ställbara parametrar kan man variera uppgifternas svårighet.

Jag har gjort två sådana excelark. Eftersom de genererar arbetsblad kallar jag dem för generatorer. Den ena genererar uppgifter där eleven ska multiplicera, addera eller subtrahera 2-4 tal med varandra, t.ex. tabellträning, addition av tresiffriga tal, multiplikation med minnessiffra etc. Den ger inget facit. Den andra genererar uppgifter där eleven skall multiplicera eller dividera (eller båda) tal med 10, 100, 1000 etc. Den genererar ett facit.

De kan laddas ned här: Huvudräkning och Huvudräkning101001000

Hur bygger man då en sådan generator. Det bästa är att ladda ned dem och studera formlerna samtidigt som jag visar några av de viktigaste finesserna.

Slumptal
Det finns en funktion i Excel som heter Slump(). Den genererar ett slumptal mellan 0 och 1. Om man vill ha ett slumpmässigt heltal mellan t.ex. 3 och 8 (fr.o.m. 3 t.o.m. 8 ) kan man multiplicera detta slumptal med 6 (skillnaden+1), lägga till 3 (nu har vi tal frÃ¥n 3,000… till 8,999) och ta heltalsdelen av detta. Om 3an finns i cell A1 och 8an finns i cell A2 blir formeln i Excel =heltal(A1+(A2-A1+1)*slump()).

Konvertera tal till text
SÃ¥ nu har vi slumpmässiga heltal. Man dessa skall formateras till fin text med  multiplikationstecken och allt. Excel har en funktion som heter Text(tal;format). “Format” är lämpligt att ha = 0 eller texten “Standard”. För att sätta ihop olika tal används funktionen sammanfoga(text1;text2;text3…). Här är ett exempel som genererar en multiplikationsuppgift:

=SAMMANFOGA(TEXT(HELTAL(SLUMP()*(A$44-A$43+1)+A$43);0);”·”;TEXT(HELTAL(SLUMP()*(B$44-B$43+1)+B$43);0))

Det här exemplet bygger pÃ¥ att första talet skall vara mellan talen i A43 och A44 och det andra är mellan B43 och B44. Observera multiplikationstecknet! Det är en symbol som kallas “middle dot” i Words “infoga symbol”-dialog. Det ligger efter de vanliga bokstäverna direkt efter paragraftecknet (det bakvända feta P’t).

Absoluta referenser 
Dollartecknen framför radnumrena 43 och 44 i formeln talar om för Excel att dessa inte skall ändras när formeln kopieras ned från första raden. Om man trycker på F4 kommer dollarteckena automatisk i den cellreferens markören just nu står i. Tryck upprepade gånger på F4 så får du olika varianter: dollartecken på både rad och kolumn, bara rad, bara kolumn eller inte alls.
En cellreferens med dollartecken kallas för “absolut referens”, till skillnad frÃ¥n de relativa referenser Excel vanligen använder.

Organisera arbetet
Det kan lätt bli komplicerat i Excel. DÃ¥ kan man organisera arbetet genom att arbeta ett steg i taget, frÃ¥n vänster till höger, pÃ¥ ett blad och sedan göra layouten snygg pÃ¥ ett annat blad. SÃ¥ har jag gjort i “10, 100, 1000″-generatorn. PÃ¥ bladet “Inställningar” finns de ställbara parametrarna och en hel rad av beräkningar för varje uppgift.

Välja slumpmässigt i en lista
I den generatorn visar jag också hur man kan använda funktioner för att välja ett slumpmässigt alternativ ur en lista. Formeln som ska användas är Letarad(Värde, tabell, kolum). Denna funktion letar i en tabell i kolumn ett efter Värde och returnerar motsvarande värde från angiven kolumn.

Parametrar i tabell 

Ett exempel är följande: =LETARAD(N20;$C$11:$D$17;2), där N20 ges av formeln N20=HELTAL(SLUMP()*O20+1). Vi letar alltså upp ett slumpmässigt värde i kolumn 2 i tabellen C11:D17. O20=ANTAL($D$11:$D$17) och anger alltså maxvärdet för slumptalet. Det är ju ingen idé att slumpa fram en 5:a om det bara finns tre värden i tabellen.

På detta sätt bygger man försiktigt upp sitt första exempel steg för steg på en rad. Sedan kopierar man dett så många rader man vill och ordnar till sin layout på ett annat blad.

Lärarlyftskurs med Cabri och Excel Tuesday, 25 March, 2008

Posted by themadmathematician in Cabri, Excel, Övrigt.
add a comment

En kurs pÃ¥ STHlms universitet heter  “Problemformulering och datorn som didaktiskt verktyg” och innehÃ¥ller vad jag förstÃ¥r bl.a. en Cabri-kurs och en Excel-kurs. Den har inte fÃ¥tt sÃ¥ mycket reklam ännu men det rör sig om en utbyggnadd av den tidigare kursen pÃ¥ 7,5 hp (5p) som enbart berörde problemformulering i Cabri. Meningen med denna, nya större, kurs är utvidga de olika miljöerna frÃ¥n “bara” dynamisk geometri (Cabri) till dynamiska beräkningar (Excel) och ytterligare ett program som jag inte vet vilket det är ännu. DÃ¥ den förut gavs pÃ¥ kvartsfart under en termin ges den nu pÃ¥ helfart under en termin, alternativ kvartsfart under 2 Ã¥r om jag förstÃ¥r det rätt. I vilket fall 30 hp (20 “gamla” p). Det är bra att kunna testa pÃ¥ en klass samtidigt sÃ¥ jag tror att man kan läsa den samtidigt som man jobbar 50-75% beroende pÃ¥ hur mycket barn och lediga kvällar man har. Oavsett hastighet ges den som distanskurs med mycket processkrivande i Moodle eller liknande.

Jag gick den förut i den korta versionen och jag tyckte den var bra. Den handlar mycket om att formulera problem för eleverna så att de själva aktivt undersöker och upptäckter samband i laborativa miljöer som Cabri och Excel.

Ta chansen och sök!

Lärartävlingen Kappa 2007 Saturday, 17 November, 2007

Posted by themadmathematician in Cabri, Excel, Programs, TI, TI-Nspire.
1 comment so far

Lärartävlingen Kappa 2007 - en matematiktävling för matematiklärare aktiva i skolan är nu i praktiken slut för denna gång. Jag var med och jag är stolt över att säga att jag tog mig till final, även om jag misslyckades totalt på sista uppgiften. Jag lyckades dock bäst av alla med extrauppgiften som skulle lösas samtidigt som sista uppgiften vilket jag givetvis är extra stolt över. Den lösningen är publicerad på Eduard Baumanns webbplats.  

Här är länkar till mina bidrag i tävlingen:

Uppgift 2, uppgift 3 (innehåller även ett felaktikt induktionsbevis), uppgift 4, uppgift 5, Extrauppgiften.

Jag är också nöjd med min väldigt fullständiga lösning av uppgift 4 där jag ger en enkel och lättfattlig men oväntad geometrisk tolkning till ett svårt kombinatoriskt problem.

Men framför allt vill jag prata lite om att använda tekniska hjälpmedel vid problemlösing. Jag har under tävlingens gång använt mig av följande tekniska hjälpmedel:

Dessutom har jag

Det är med andra ord en formidabel vapenarsenal jag behövt använda mig av för att nå fram. man skulle kanske nå fram helt utan dessa hjälpmedel, på traditionellt sätt med penna och papper men jag måste säga att dessa hjälpmedel sparar enormt med tid och fungerar som laborativa miljöer i vilka man kan leka och experimentera sig fram till svaren på uppgifterna.

Ett exempel: I uppgift 4 skulle man undersöka en slags “avhuggen” eller “instängd” Pascals triangel. Numeriskt gÃ¥r detta bra att simulera i Excel förstÃ¥s. Men nu gällde det att hitta en algebraisk lösning och Excel är ju inte algebraiskt, eller…?

Visserligen är det sÃ¥ men genom att subtrahera kända härledda termer frÃ¥n det simulerade svaret fÃ¥r jag en bild av differenserna (residues) som gör att jag kan “se” formen pÃ¥ näste term. Subtrahera även denna term sÃ¥ fÃ¥r jag nya, mindre differenser som gör att jag kan “se” en term till etc. Genom att pÃ¥ detta sätt hitta svaret pÃ¥ pragmatiskt sätt ser jag formen pÃ¥ svaret vilket hjälper mig att förstÃ¥ och härleda ett teoretiskt uttryck senare. För den som är intresserad av en del avancerade tekniker med Excel kan ni titta pÃ¥ följande fil.

Eller se på arbetsgången för extrauppgiften. Först tänker man så man har en del idéer. Sedan bygger man olika modeller i Cabri Geometri för att mäta staketlängder. Nar man är rätt nöjd börjar man söka på nätet efter bättre lösningar. Efter mycket om och men hittar man slutligen en lösning som är sämre än sin egen. Men man hittar även fler idéer som visar att ens lösning inte är optimal så mna jobbar vidare och hittar ännu bättre lösningar samtidigt som man kontaktar personen som genererat lösningen på nätet. Efter lite utbyte av idéer genererar han en lösning baserad på mina idéer utfört i problemlösaren till Excel.

Vad kan man lära sig av detta som är användbart i undervisningen? Vad sägs om:

Handen på hjärtat: Låter du dina elever lösa tillräckligt med problem?

Problemlösaren i Excel Saturday, 17 November, 2007

Posted by themadmathematician in Excel.
add a comment

Jag hade nyligen tillfälle att Ã¥terupptäcka problemlösaren i Excel. Det är ett helt underbart verktyg för lösning av ekvationer och olikheter. Det första man bör göra är att starta Excel och gÃ¥ upp i menyn under “Verktyg” och välja “Tillägg”:

addin Problemlösaren i Excel

Där bockar du för Problemlösaren och klickar OK. Nu gÃ¥r du in i menyn under “Verktyg” och där har du nu ett nytt menyalternativ “Problemlösaren…”. Klicka pÃ¥ det…

problem Problemlösaren i Excel

Här ses ett exempel där jag har ett icke-linjärt ekvationssystem av tredje ordningen. Problemlöaren är inställd pÃ¥ att alla tre ekvationerna skall vara = 0 vilket man ställer in genom att använda bivillkor som kallas för “Begränsningar” . I detta exempel har jag dessutom döpt cellerna som innehÃ¥ller ekvationerna till noll1, noll2, och noll3. Tittar man i formlerna sÃ¥ ser man att jag använt namnen x, y och x för cellerna B1, B2 och B3. Man döper celler genom att klicka i den lilla rutan ovanför cell A1 och skriva in valfritt namn. Det gör ofta formler lättare att förstÃ¥.

nonlinear Problemlösaren i Excel

Här ovan ser vi cell B3 markerad och namngiven som “z”.

Det är värt att poängtera att problemlösaren inte automatiskt hittar alla lösningar eller ens en lösning om initialvärdena är väldigt fel. Det är värt att testa lite själv först för att sedan aktivara problemlösaren.

Det här är ett oerhört kraftigt verktyg som är lämpligt att visa på gymnasienivå.

Excel i klassrummet Monday, 20 August, 2007

Posted by themadmathematician in Excel, TI, TI-Nspire.
add a comment

En viktig aspekt av teknologi i matematikundervisningen som jag ännu inte tagit upp är givetvis kalkylblad, vare sig det är MS Excel, applikationen CelSheet på TI-84, applikationen Lists and Spreadsheet på TI-Nspire eller något liknande program i andra sammanhang.

Ett kalkylblad är ett suveränt sätt att organisera dels stora mängder data, dels komplicerade strukturer med samband. En del av dessa program klarar dessutom av att rita diagram, andra, som TI-Nspire klarar även av symboliska beräkningar.

En enkelt, men ändå kraftfullt exempel på hur man kan använda kalkylblad i matematiken är att låta eleverna bygga Pascals Triangel. Pascals Triangel byggs som bekant upp rekursivt genom att varje tal är summan av de båda talen snett ovanför talet. Högst upp är det en ensam etta.

För att göra detta i t.ex. Excel skriver du in formeln =A1+C1 i cell B2. Efter du tryckt ENTER står det 0 i cellen eftersom både A1 och C1 är tomma. Kopiera nu innehållet i B2 till resten av området B2:V11. Det behöver inte vara just till V11 men det bör vara ungefär dubbelt så brett som högt. Kopieringen kan i Excel ske genom att dra i den lilla fyrkanten i nedre högra hörnet av ramen runt den markerade cellen. Mna måste då först dra nedåt och sedan åt höger. Alternativt kan du använda Ctrl-C och Ctrl-V.

Det som händer vid kopieringen är att formeln ändras när den flyttas. I t.ex cell E8 står det nu =D7+F7. Man säger att formeln är baserad på relativa referenser som bevaras vid flyttning och kopiering.

Detta är nu ett hav av nollor. Sätt nu en ensam etta i cell L1. Voilà, Pascals Triangel.

Tag bort den ettan och sätt en ny etta i cell B2. Voilà, Catalans triangel som är en annan taltriangel som ofta dyker upp inom matematiken. Ett exempel är pÃ¥ hur mÃ¥nga sätt en regelbunden n-hörning kan delas in i trianglar. En triangel kan göra det pÃ¥ ett sätt, en kvadrat pÃ¥ tvÃ¥ sätt, en femhörning pÃ¥ fem sätt… Detta är Catalantalen som är kolumnen längst till vänster i Catalans triangel.

Catalans triangel uppstÃ¥r alltsÃ¥ ur samma strukturerade “fält” som Pascals triangel och har samma begynnelsevillkor men Catalans triangel har dessutom randvillkoret att alla värden till vänster om ettan skall vara =0.

För att få Excel att inte visa alla nollor går man in i menyn på Alternativ - fliken Visning och tar bort bocken i rutan för Nollvärden.

För att lära sig Excel bra bör man försöka bygga matematiska modeller, simuleringar och elevuppgifter i programmet. Här är några föslag att börja med: