Ett samband är matematikens motsvarighet till ett påstående: 1 + 2 = 3
En ekvation är matematikens motsvarighet till en fråga: 1 + x = 3

Till detta projekt gjorde en kort PowerPoint-presentation.

Sedan visade jag hur man mycket enkelt kan leka med ekvationer för små barn i Word (som en introduktion – sen är det nog bra om de får pröva själva med stenar eller knappar.

I Excel kan man kombinera tal (exempel) med figurer (diagram) när man visar t.ex. 10-kamrater eller enkla ekvationer. Man kan även göra tabeller och grafer. Dessutom finns ju problemlösaren.

I några av dessa Excel-filer har jag använt mig av rotationsknappar så man kan ändra värdet med ett enkelt klick. Det går kortfattat till så att man i menyn väljer Visa – Verktygsfält och väljer verktygsfältet “Formulär”. Sedan väljer man en rotationskontroll (två pilar) och klickar och drar upp kontrollen där man vill ha den. Högerklicka sedan på den och skriv in en cell i “cellreferens”. Det är den cellen som du sedan kan ändra värde på. Justera även min- och maxvärden m.m. Observera att du inte får ha mindre värden än 0 och inte får stega i mindre steg än 1 så du kan ibland behöva använda en formel för att få något användbart.

Om du t.ex. vill kunna bläddra bland 51 olika värden mellan -1 och 4 i steg om 0,1 så ställ in min=0 och max =50. Om kontrollen är kollad till A1 kan du i B1 ange formeln

=-1+A1/10

Varefter du använder värdena i B1.

På Internet finns många bra Java-applets. I detta Worddokument har jag listat adresserna till 4 olika jag tyckte om.

I gratisprogrammet GeoGebra som är Javabaserat och därför lättinstallerat på alla datorer kan man visa på enkla samband som a + b = c och a·b = c, men framför allt åskådliggöra grafer dynamiskt och lösa ekvationer grafiskt. Man kan även visa hur den gamla Regula Falsi-metoden fungerade (jmf med sista bilden i presentationen)

Man kan avslutningsvis säga att du med moderna datorer och metoder inte längre behöver introducera ekvationer med orden “Tänk på ett tal…”, utan kan använda dig av mycket mer realistiska exempel och en mångfald av representationer för att beskriva strukturerna för eleverna.

Wikipedia är en bra och ofta uppdaterad källa till information. Här finns en rejäl lista på aktuella program för dynamisk geometri.

Man märker att Geogebra sneglar på Cabri. Många bra funktioner som finns i Cabri har blivit kopierade till GeoGebra. Men de har även sneglat på TI-Nspire, i nästa stabila version kommer bl.a. möjligheten att använda kalkylblad, t.ex. att låta en punkt “spåra”, eller “sampla positioner” till kalkylbladet.

Sedan får vi inte glömma GeoGebras egen styrka, det algebraiska förhållningssättet. Möjligheten att se geometriska relationer uttryckt som algebra, lättheten att skapa sliders som kontrollerar tal som ingår i uttryck för kurvor, lättheten att rita kurvor överhuvud taget, kommandon som Derivera, Rot, Extrempunkt m.fl. samt det faktum att GeoGebra är både gratis och plattformsoberoende (så länge du har Java installerat) gör det till en klar vinnare för skolor i mina ögon.

För att få äkta elevaktivitet krävs mycket datortid, något som är svårt att uppnå med en hårt schemalagd datasal. Den enkla installationen gör att så gott som alla elever med en dator hemma klarar av att arbeta med läxor i GeoGebra.

 för att få fram följande verktygsfält i nederkant på skärmen:

Om man klickar på “Rita” längst till vänster dyker “huvudmenyn” upp.

Det viktigaste här är att förstå rutnätet. Varje gång man skapar t.ex. en rektangel så kommer hörnen att lägga sig på punkter i rutnätet vilket gör att det lir relativt lätt att få figurer som har exakt samma storlek och lägger sig snyggt bredvid varandra. Jag brukar ställa in ett avstånd på 0,5 eller 1 cm när jag jobbar med rutnätet.

Ska man sedan göra en rektangel eller annan figur (det finns många olika att välja på under “Figur”) så klickar man på rektangelknappen och “drar upp” rektangeln.

Dubbelklickar man på den kommer man till dialogrutan för inställningarna. Man kan ändra färg, linjetyp och linjefärg, transparens (ska den vara genomskinlig eller ogenomskinlig?), storlek, rotation och en hel del annat.

Många rektanglar i rätt färger kan t.ex. bli en uppsättning med cuisinairstavar. Plötsligt blev det matematik av figurerna. Genom att göra det i Word kan man, om man har projektor i klassrummet, visa alla samtidigt på ett sätt man inte kan göra med det laborativa materialet. Man kan även använda det som mallar för att klippa ut och laminera eget material.

Här är ett antal olika Word-dokument som jag lekt med.

Färgade stenar, cuisinairstavar, Fyll kvadraten med smådelar (för att visa att 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + …), gömda ord (à la smartboard), magisk kvadrat, tangram och venndiagram.

Det går utmärkt att göra detta i Powerpoint också men det är lite pilligt att få till exakta rörelsebanor. Här är mitt första försök.

Här är en Excelfil  och en Cabrifigur och en till cabrifigur som också skulle kunna användas för att åskådliggöra bråkbegreppet.

Man kan även söka efter java-applets, t.ex. har jag hittat denna, denna och denna.

Jag har lagt upp filerna i mitt filarkiv, på http:/files.morbyskolan.se.

Här är en zip-fil med allt mitt presentationsmaterial (800kb).

Huvudnumret var dock Douglas Butler från TSM som är baserat i Oundle, England som pratade om det suveräna graf-, statistik, och analysprogrammet Autograph. Det bästa sättet att se vad det klarar av är nog att titta på deras flash-demos.

Några saker står dock ut och placerar programmet i en klass för sig:

• Ritar implicit definierade funktioner i både 2D och 3D. Inget krav på att skriva funktionen som y=…
• “Slow plot” som i kombination med digitala pennmarkeringar möjliggör ett mycket pedagogiskt arbetssätt som åde skapar intresse, mental aktivitet och förväntan hos eleverna. Fråga alltd eleverna “Vad händer nu? Var går kurvan? Vilka punkter etc först. Sedan markera detta med “pennan” så eleverna “äger” området. Först då ritar man, långsamt och härligt.
• En “Constant controller” som varierar valfria parametrar i funktionerna bättre än en slider gör det. En slider har implicita start-, stopp- och stegvärden. Denna controller ger mer kontroll över dessa och du kan t.ex. först justera i steg om 1, sedan i ster om 0,1 och till sist i steg om 0,01 för att finjustera. Allt detta med piltangenterna.
• Generell modellering, dvs man kan anpassa vilken kurva som helst med godtyckligt antal parametrar till datapunkter.
• Utökad skollicens finns.
• Utvecklat av lärare, för lärare i en kreativ miljö med skolledning som satsade och byggde ett företag kring programmet. När kommer det att hända i Sverige?

Jag kan inte vänta på att få tag på ett ex av den utökade skollicensen, den där som gör att alla elever har rätt att köra programmet hemma. Men med en prislapp på 8000 kräver det ett speciellt besök hos rektor och förankring i kollegiet först.

Men om man räknar på det: Säg att programmet “håller” ca 3 år innan man måste betala för en uppgradering. 3 år gånger ca 500 elever ger ca 5,50 kr per elev och år.

En skola borde avsätta en viss del av sin budget till elevprogram, helst sådana som får köras hemma. Autograph och Cabri är definitivt sådana som borde finnas på listan. Jämför kostnaden för elevadministration som går på 50-100 kr per elev och år beroende på system och avtal.

Upptäcka, utforska och generalisera är tre nyckelord som genomsyrar mitt sätt att arbeta med matematiken och framför allt geometrin. Jag är övertygad om att detta arbetssätt leder till bestående kunskap. 

Det här är nyckelord även inom problemlösning. Jag har en del tankar om något jag kallar “Generella verktyg”. Verktyg där det är lätt att strukturera och bygga upp ny information och nya verktyg i verktyget. Verktyg som Cabri, Excel, Papper och Penna. Dessa verktyg karakteriseras också av Lils ledord upptäcka, utforska och generalisera.

För att fira min framtida anställning på Lärarutbildningen på Stockholms Universitet (forna lärarhögskolan) så tänkte jag gå igenom problemet igen och lösa det med olika tekniska hjälpmedel. Kostigt sätt att fira? Inte för The Mad Mathematician!

Uppenbarligen ligger tyngdpunkten på symmetrilinjen, frågan är hur högt upp. Om vi antar att radien är 1 kommer avståndet från centrum av cirkeln till tyngdpunkten, h < 0,5.

Här är resonemanget:

Arean på nederdelen av halvcirkeln skall vara lika med arean på segmentet. Arean på nederdelen = arean på halvcirkeln – arean på segmentet.
Arean på segmentet = arean på sektorn – arean på trianglen.
Arean på sektorn = arean på cirkeln * vinkeln / 360
Arean på cirkeln = Pi.
Arean på triangeln = h · b, där b = √(1 – h²)

Detta kan sammnfogas till följande uttryck som nästan bara beror av h:

π/4 = π · θ /180 – h · √(1 – h²)

Men jag redan då grunderna i trigonometri för jag visste att cos(θ) = h. Det jag sedan gjorde imponerar mig fortfarande. Jag löste ut h som funktion av h!

h = cos[180/π · (π/4 + h√(1 - h²)]

Jag stoppade in h = 0,5 på högersidan och fick ut ett nytt värde på h, som jag på nytt stoppade in i högersidan och fick ett nytt värde på h… Jag hade uppfunnit rekursion! Man får h ≈ 0,40397…

Då hade jag en enkel gymnasieräknare. Nu gick det mycket lättare med en modern grafräknare där man kan upprepa hela föregående beräkning genom ett tryck på enter.

I Cabri löste jag nu problemet dynamiskt. En flernivå-slider styr positionen av en punkt på symmetrilinjen och med den inbyggda räknaren kan jag mäta och beräkna de ingående areorna. Den slider jag använt är en 10-nivåslider där varje nivå är en slider som genererar ett tal mellan 0 och 1.

I Excel använde jag mig av problemlösaren. Det hade gått utmärkt att använda målsökaren men i problemlösaren går det att ställa in högre precision. Problemlösaren är ett tilläggsmakro som måste aktiveras innan det går att använda. Det gör man i menyn under Verktyg/Tillägg…

I både problemlösaren och målsökaren anger man värdet på h som det som får ändras och t.ex. skillnaden mellan de båda areorna som det värde som skall bli = 0.

Målsökning och problemlösaren är exempel på sådant som Excel kan göra men som inte det annars utmärkta kalkylmodulen i TI-nSpire klarar av. Det TI-nSpire däremot klarar är att helt enkelt lösa ekvationen direkt. Visserligen inte symboliskt men kommandot solve(π/4 = π · cos^-1(h) /180 – h · √(1 – h²))| h < 1, h > 0 ger rätt numeriskt svar efter bara någon sekund.

Den fjärde metoden jag använde mig av nu i modern tid för att avgöra problemet med tekniska hjälpmedel var Internet. Men nu blev det intressant. Standardresultatet är 4/3π = 0,422… Det stämmer ju inte! Sakta insåg jag att jag inte bestämt någon tyngdpunkt utan bara den linje som delar arean i lika delar. För att bestämma tyngdpunkten måste man leka med t.ex. moment = avstånd gånger kraft för en summa av infinitesimala band.

Så efter alla dessa år vet jag nu vad jag gjorde. Där ser man!

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 

UTBILDNINGSDAG – DYNAMISK MATEMATIK
 
Utvecklingen på IT-området har på ett dramatiskt sätt ökat 
möjligheten att för gymnasieelever åskådliggöra viktiga och 
grundläggande matematiska begrepp och idéer. Möjligheterna till en 
konkret, intressant matematikundervisning, där man når längre både 
när det gäller praktiska tillämpningar och abstrakt förståelse har 
i samma grad ökat.
 
Didaktisk forskning har klart visat att en genomtänkt ITanvändning i bl.a. matematikundervisningen har postiva effekter på begreppsmässig förståelse samt bidrar till en ökad individualisering. Se:
[http://www.skolutveckling.se/publikationer/sokochbestall/_pid/publdbExternal/_rp_publdbExternal_action/publicationDetails/_rp_publdbExternal_publ_id/573 ]http://www.skolutveckling.se/publikationer/sokochbestall/_pid/publdbExternal/_rp_publdbExternal_action/publicationDetails/_rp_publdbExternal_publ_id/573

Vi anordnar, tillsammans med Cabrilog, Grenoble, och Autograph Maths, Oundle, England en utbildningsdag, där lärare, lärarutbildare och andra intresserade får tillgång till expertis när det gäller användning av dynamisk geometri, Cabri Geometry samt dynamisk grafritare  i matematikundervisningen.
 
Medverkande: Douglas Butler, England, Lil Engström, Stockholm, Gunnar Hammarstrand, Stockholm samt Jonas Hall, Stockholm.
Plats: Östra Reals gymnasium, Karlavägen 79, SE-114 59 Stockholm.
Tid: 12/6 2008
Kursavgift: 400 kr exkl moms Avgiften inkluderar lunch och kaffe.
Bindande anmälan: Senast den 12 maj till nedanstående adress. Gärna per epost.
 
Skolor som anmäler minst en deltagare får 20 % rabatt vid köp av Cabri Geometry och/eller Autograph. Erbjudandet gäller fram till den 15 september 2008. 

David Sjöstrand
YD Science & Arts
Knapegårdsvägen 1
SE-439 93 Onsala
tel 0300 641 60  phone +46 300 641 60
fax: 0300 641 65    +46 300 641 65
mobil 0705 16 78 81 mobile +46 705 16 78 81
[ http://www.ydsa.se ]www.ydsa.se
 
[ mailto:yd@ydsa.se ]yd@ydsa.se
 
YD Science & Arts is a member of EMSET
European Math & Science Education with Technology
 

Jag gick den förut i den korta versionen och jag tyckte den var bra. Den handlar mycket om att formulera problem för eleverna så att de själva aktivt undersöker och upptäckter samband i laborativa miljöer som Cabri och Excel.

Ta chansen och sök!