Myndigheten för Skolutveckling har för övrigt satsat en hel del på sistone för att lägga ut goda exempel om hur IT används i matematikundervisningen.

Jag är för all del inte ensam där. Helena Karis, biträdande rektor på Matteusskolan, pratar om matematikchattar, Ove Engström på Häggvikskolan berättar om deras podsändningar, Anna Svärd från Ehrensvärdska gymnasiet i Karlskrona spelar in lektioner, Fredrik Wall på Sofia Distans redogör för Webbmatte, Stockholms satsning på matte på hemspråk och Georg Lewin, på Åsö vuxengymnasium i Stockholm lägger ut texten om alla webbresurser han listat.

Ett filmteam, hör och häpna, har gjort ytterligare en intervju med mig då jag körde Excel i en nia. Den ska komma ut på nätet i September.

För att fira min framtida anställning på Lärarutbildningen på Stockholms Universitet (forna lärarhögskolan) så tänkte jag gå igenom problemet igen och lösa det med olika tekniska hjälpmedel. Kostigt sätt att fira? Inte för The Mad Mathematician!

Uppenbarligen ligger tyngdpunkten på symmetrilinjen, frågan är hur högt upp. Om vi antar att radien är 1 kommer avståndet från centrum av cirkeln till tyngdpunkten, h < 0,5.

Här är resonemanget:

Arean på nederdelen av halvcirkeln skall vara lika med arean på segmentet. Arean på nederdelen = arean på halvcirkeln – arean på segmentet.
Arean på segmentet = arean på sektorn – arean på trianglen.
Arean på sektorn = arean på cirkeln * vinkeln / 360
Arean på cirkeln = Pi.
Arean på triangeln = h · b, där b = √(1 – h²)

Detta kan sammnfogas till följande uttryck som nästan bara beror av h:

π/4 = π · θ /180 – h · √(1 – h²)

Men jag redan då grunderna i trigonometri för jag visste att cos(θ) = h. Det jag sedan gjorde imponerar mig fortfarande. Jag löste ut h som funktion av h!

h = cos[180/π · (π/4 + h√(1 - h²)]

Jag stoppade in h = 0,5 på högersidan och fick ut ett nytt värde på h, som jag på nytt stoppade in i högersidan och fick ett nytt värde på h… Jag hade uppfunnit rekursion! Man får h ≈ 0,40397…

Då hade jag en enkel gymnasieräknare. Nu gick det mycket lättare med en modern grafräknare där man kan upprepa hela föregående beräkning genom ett tryck på enter.

I Cabri löste jag nu problemet dynamiskt. En flernivå-slider styr positionen av en punkt på symmetrilinjen och med den inbyggda räknaren kan jag mäta och beräkna de ingående areorna. Den slider jag använt är en 10-nivåslider där varje nivå är en slider som genererar ett tal mellan 0 och 1.

I Excel använde jag mig av problemlösaren. Det hade gått utmärkt att använda målsökaren men i problemlösaren går det att ställa in högre precision. Problemlösaren är ett tilläggsmakro som måste aktiveras innan det går att använda. Det gör man i menyn under Verktyg/Tillägg…

I både problemlösaren och målsökaren anger man värdet på h som det som får ändras och t.ex. skillnaden mellan de båda areorna som det värde som skall bli = 0.

Målsökning och problemlösaren är exempel på sådant som Excel kan göra men som inte det annars utmärkta kalkylmodulen i TI-nSpire klarar av. Det TI-nSpire däremot klarar är att helt enkelt lösa ekvationen direkt. Visserligen inte symboliskt men kommandot solve(π/4 = π · cos^-1(h) /180 – h · √(1 – h²))| h < 1, h > 0 ger rätt numeriskt svar efter bara någon sekund.

Den fjärde metoden jag använde mig av nu i modern tid för att avgöra problemet med tekniska hjälpmedel var Internet. Men nu blev det intressant. Standardresultatet är 4/3π = 0,422… Det stämmer ju inte! Sakta insåg jag att jag inte bestämt någon tyngdpunkt utan bara den linje som delar arean i lika delar. För att bestämma tyngdpunkten måste man leka med t.ex. moment = avstånd gånger kraft för en summa av infinitesimala band.

Så efter alla dessa år vet jag nu vad jag gjorde. Där ser man!

Det här är en gratis resurs för svenska matematiklärare som är intresserade av teknologi i matematikundervisningen. Jag skriver mest om dynamisk geometri och grafräknare, men även om annat. Eftersom det jag skriver i blogg-form är det några saker du bör tänka på:

• Materialet uppdateras hela tiden, oftast flera gånger per vecka, så kom tillbaka regelbundet. Om du har uppdaterat till Internet Explorer 7, eller vet lite om RSS, eller s.k. “feeds”, så klicka på den lilla knappen nere till höger på sidan. Då kan Internet Exlporer 7, eller din “feed reader” hålla reda på om det skett något nytt här.
• Du kan kommentera varje inlägg offentligt och föra en offentlig debatt om du vill. Klicka bara där det står “add a comment”, eller “1 comment so far” och skriv (nästan) vad du vill.
• Du kan t.o.m. i viss mån önska vad jag ska skriva om om, eller tipsa om webbplatser, program etc som du tycker borde komma till andras kännedom.

Vill du höra av dig direkt till mig är det bara att skriva några rader till

 Jonas Hall  < jonas.hall@personal.danderyd.se >

alias

The Mad Mathematician

P.S.

Titta gärna in på www.morbyskolan.se också och klicka på “matematik”!

MM

The Mad Mathematician
has struck again…

Det här har jag alltid klottrat ned högst upp till höger på alla obevakade svarta och vita tavlor jag kommit i närheten av så länge jag kan minnas. Nu för tiden blir det mest då jag besöker andra skolor men av någon anledning jag själv inte riktigt förstår så kan jag inte riktigt sluta. Så när det blev dags att börja blogga var namnet givet!

 Det vackra sambandet högst upp kallas Eulers formel och sammankopplar en mängd med konstanter till varandra.

Jag hoppas att detta ska kunna bli en resurs för alla er som håller på med Cabri Geometri och TI’s grafräknare och även annan teknologi som passar i matematikundervisningen. Välkomna med material, kommentarer, förslag och länkar. Kom också ihäg att jag är rätt ny på det här så hjälp mig fixa till sådant som blir mindre bra genom att peka ut det för mig