Tyngdpunkten på en halvcirkel Wednesday, 16 April, 2008
Posted by themadmathematician in AboutMe, Cabri, Excel, TI.add a comment
Ett av mina tidiga minnen av matematik var när jag en regnig dag på kollo ca 1975-76 fick för mig att bestämma tyngdpunkten på en halvcirkel - och lyckades. Jag var antagligen ca 12-13 år då och det slår mig att jag kunde rätt mycket för min ålder. Men mer intressant är att jag tidigt hade en säregen egenskap att kunna upptäcka matematik.
För att fira min framtida anställning på Lärarutbildningen på Stockholms Universitet (forna lärarhögskolan) så tänkte jag gå igenom problemet igen och lösa det med olika tekniska hjälpmedel. Kostigt sätt att fira? Inte för The Mad Mathematician!
Uppenbarligen ligger tyngdpunkten på symmetrilinjen, frågan är hur högt upp. Om vi antar att radien är 1 kommer avståndet från centrum av cirkeln till tyngdpunkten, h < 0,5.
Här är resonemanget:
Arean på nederdelen av halvcirkeln skall vara lika med arean på segmentet. Arean på nederdelen = arean på halvcirkeln - arean på segmentet.
Arean på segmentet = arean på sektorn - arean på trianglen.
Arean på sektorn = arean på cirkeln * vinkeln / 360
Arean på cirkeln = Pi.
Arean på triangeln = h · b, där b = √(1 - h2)
Detta kan sammnfogas till följande uttryck som nästan bara beror av h:
π/4 = π · θ /180 - h · √(1 - h2)
Men jag redan då grunderna i trigonometri för jag visste att cos(θ) = h. Det jag sedan gjorde imponerar mig fortfarande. Jag löste ut h som funktion av h!
h = cos[180/π · (π/4 + h√(1 - h2)]
Jag stoppade in h = 0,5 pÃ¥ högersidan och fick ut ett nytt värde pÃ¥ h, som jag pÃ¥ nytt stoppade in i högersidan och fick ett nytt värde pÃ¥ h… Jag hade uppfunnit rekursion! Man fÃ¥r h ≈ 0,40397…
Då hade jag en enkel gymnasieräknare. Nu gick det mycket lättare med en modern grafräknare där man kan upprepa hela föregående beräkning genom ett tryck på enter.
I Cabri löste jag nu problemet dynamiskt. En flernivå-slider styr positionen av en punkt på symmetrilinjen och med den inbyggda räknaren kan jag mäta och beräkna de ingående areorna. Den slider jag använt är en 10-nivåslider där varje nivå är en slider som genererar ett tal mellan 0 och 1.
I Excel använde jag mig av problemlösaren. Det hade gÃ¥tt utmärkt att använda mÃ¥lsökaren men i problemlösaren gÃ¥r det att ställa in högre precision. Problemlösaren är ett tilläggsmakro som mÃ¥ste aktiveras innan det gÃ¥r att använda. Det gör man i menyn under Verktyg/Tillägg…
I både problemlösaren och målsökaren anger man värdet på h som det som får ändras och t.ex. skillnaden mellan de båda areorna som det värde som skall bli = 0.
Målsökning och problemlösaren är exempel på sådant som Excel kan göra men som inte det annars utmärkta kalkylmodulen i TI-nSpire klarar av. Det TI-nSpire däremot klarar är att helt enkelt lösa ekvationen direkt. Visserligen inte symboliskt men kommandot solve(π/4 = π · cos-1(h) /180 - h · √(1 - h2))| h < 1, h > 0 ger rätt numeriskt svar efter bara någon sekund.
Den fjärde metoden jag använde mig av nu i modern tid för att avgöra problemet med tekniska hjälpmedel var Internet. Men nu blev det intressant. Standardresultatet är 4/3Ï€ = 0,422… Det stämmer ju inte! Sakta insÃ¥g jag att jag inte bestämt nÃ¥gon tyngdpunkt utan bara den linje som delar arean i lika delar. För att bestämma tyngdpunkten mÃ¥ste man leka med t.ex. moment = avstÃ¥nd gÃ¥nger kraft för en summa av infinitesimala band.
Så efter alla dessa år vet jag nu vad jag gjorde. Där ser man!
