Tyngdpunkten på en halvcirkel Wednesday, 16 April, 2008
Posted by themadmathematician in AboutMe, Cabri, Excel, TI.add a comment
Ett av mina tidiga minnen av matematik var när jag en regnig dag på kollo ca 1975-76 fick för mig att bestämma tyngdpunkten på en halvcirkel - och lyckades. Jag var antagligen ca 12-13 år då och det slår mig att jag kunde rätt mycket för min ålder. Men mer intressant är att jag tidigt hade en säregen egenskap att kunna upptäcka matematik.
För att fira min framtida anställning på Lärarutbildningen på Stockholms Universitet (forna lärarhögskolan) så tänkte jag gå igenom problemet igen och lösa det med olika tekniska hjälpmedel. Kostigt sätt att fira? Inte för The Mad Mathematician!
Uppenbarligen ligger tyngdpunkten på symmetrilinjen, frågan är hur högt upp. Om vi antar att radien är 1 kommer avståndet från centrum av cirkeln till tyngdpunkten, h < 0,5.
Här är resonemanget:
Arean på nederdelen av halvcirkeln skall vara lika med arean på segmentet. Arean på nederdelen = arean på halvcirkeln - arean på segmentet.
Arean på segmentet = arean på sektorn - arean på trianglen.
Arean på sektorn = arean på cirkeln * vinkeln / 360
Arean på cirkeln = Pi.
Arean på triangeln = h · b, där b = √(1 - h2)
Detta kan sammnfogas till följande uttryck som nästan bara beror av h:
π/4 = π · θ /180 - h · √(1 - h2)
Men jag redan då grunderna i trigonometri för jag visste att cos(θ) = h. Det jag sedan gjorde imponerar mig fortfarande. Jag löste ut h som funktion av h!
h = cos[180/π · (π/4 + h√(1 - h2)]
Jag stoppade in h = 0,5 pÃ¥ högersidan och fick ut ett nytt värde pÃ¥ h, som jag pÃ¥ nytt stoppade in i högersidan och fick ett nytt värde pÃ¥ h… Jag hade uppfunnit rekursion! Man fÃ¥r h ≈ 0,40397…
Då hade jag en enkel gymnasieräknare. Nu gick det mycket lättare med en modern grafräknare där man kan upprepa hela föregående beräkning genom ett tryck på enter.
I Cabri löste jag nu problemet dynamiskt. En flernivå-slider styr positionen av en punkt på symmetrilinjen och med den inbyggda räknaren kan jag mäta och beräkna de ingående areorna. Den slider jag använt är en 10-nivåslider där varje nivå är en slider som genererar ett tal mellan 0 och 1.
I Excel använde jag mig av problemlösaren. Det hade gÃ¥tt utmärkt att använda mÃ¥lsökaren men i problemlösaren gÃ¥r det att ställa in högre precision. Problemlösaren är ett tilläggsmakro som mÃ¥ste aktiveras innan det gÃ¥r att använda. Det gör man i menyn under Verktyg/Tillägg…
I både problemlösaren och målsökaren anger man värdet på h som det som får ändras och t.ex. skillnaden mellan de båda areorna som det värde som skall bli = 0.
Målsökning och problemlösaren är exempel på sådant som Excel kan göra men som inte det annars utmärkta kalkylmodulen i TI-nSpire klarar av. Det TI-nSpire däremot klarar är att helt enkelt lösa ekvationen direkt. Visserligen inte symboliskt men kommandot solve(π/4 = π · cos-1(h) /180 - h · √(1 - h2))| h < 1, h > 0 ger rätt numeriskt svar efter bara någon sekund.
Den fjärde metoden jag använde mig av nu i modern tid för att avgöra problemet med tekniska hjälpmedel var Internet. Men nu blev det intressant. Standardresultatet är 4/3Ï€ = 0,422… Det stämmer ju inte! Sakta insÃ¥g jag att jag inte bestämt nÃ¥gon tyngdpunkt utan bara den linje som delar arean i lika delar. För att bestämma tyngdpunkten mÃ¥ste man leka med t.ex. moment = avstÃ¥nd gÃ¥nger kraft för en summa av infinitesimala band.
Så efter alla dessa år vet jag nu vad jag gjorde. Där ser man!
Avancerade räknare - Naturliga verktyg Sunday, 13 April, 2008
Posted by themadmathematician in Press, Sites, TI, TI-Nspire.add a comment
Per-Eskil Persson frÃ¥n Malmö högskolas lärarutbildning gjorde ett framträdande pÃ¥ Matematikbiennalen som jag tyvärr missade. Jag stötte däremot pÃ¥ hans utmärkta presentation pÃ¥ Biennalens “uppsamlingsplats” för sÃ¥dant som inte kom med pÃ¥ dokumentations-CD’n.
Tag gärna 5 minuter och titta igenom presentationen. Efter en inledning med ett konkret exempel går han igenom de vanligaste fördomarna mot räknare och krossar sedan dessa fördomar med aktuella forskningsresultat. Han visar under vilka förutsättningar de fungerar och under vilka de inte fungerar. Det är bara att konstatera att de lärare som inte får det att fungera behöver läsa denna utmärkta sammanfattning istället för att skylla sin misslyckade undervisning på räknarna.
Generera arbetsblad i Excel Saturday, 5 April, 2008
Posted by themadmathematician in Excel, Programs.add a comment
Excel är ett utmärkt program för matematik. Inte bara för att göra diagram, eller sköta sin bokföring med, utan för att det är programmerbart. I det här fallet ska jag inte visa hur man programmerar Excel, men jag ska visa några exempel på hur man med formler kan bygga upp ett beteende som påminner om program som en gång i tiden kunde köpas för dyra pengar. Vi ska titta på hur man bygger generatorer för arbetsblad.
Problem: Eleverna behöver mer träning på en viss typ av uppgifter, t.ex. multiplikationstabellen, multiplicera och dividera med 10, 100 och 1000, huvudräkningsträning med konjugatregeln eller kvadrering av tal som slutar på 5 m.m.
Traditionellt fick man skriva ner uppgifterna själv, och springa till kopiatorn. Nu vill man skriva ned dem i Word, vilket tar längre tid, men blir snyggare och trycka ut rätt antal pÃ¥ sin lokala skrivare, men ändÃ¥. Nästa gÃ¥ng vill de ha ännu fler uppgifter, Kalle behöver träna pÃ¥ “lilla multiplikationstabellen och nÃ¥gra skulle behöva fÃ¥ testa pÃ¥ en 12×12-tabell. Hur mÃ¥nga iólika arbetsblad ska man egentligen behöva producera?
Lösningen är att skapa arbetsbladen i Excel. Med hjälp av slumpfunktioner fås olika uppgifter på olika rader och med hjälp av ställbara parametrar kan man variera uppgifternas svårighet.
Jag har gjort två sådana excelark. Eftersom de genererar arbetsblad kallar jag dem för generatorer. Den ena genererar uppgifter där eleven ska multiplicera, addera eller subtrahera 2-4 tal med varandra, t.ex. tabellträning, addition av tresiffriga tal, multiplikation med minnessiffra etc. Den ger inget facit. Den andra genererar uppgifter där eleven skall multiplicera eller dividera (eller båda) tal med 10, 100, 1000 etc. Den genererar ett facit.
De kan laddas ned här: Huvudräkning och Huvudräkning101001000
Hur bygger man då en sådan generator. Det bästa är att ladda ned dem och studera formlerna samtidigt som jag visar några av de viktigaste finesserna.
Slumptal
Det finns en funktion i Excel som heter Slump(). Den genererar ett slumptal mellan 0 och 1. Om man vill ha ett slumpmässigt heltal mellan t.ex. 3 och 8 (fr.o.m. 3 t.o.m. 8 ) kan man multiplicera detta slumptal med 6 (skillnaden+1), lägga till 3 (nu har vi tal frÃ¥n 3,000… till 8,999) och ta heltalsdelen av detta. Om 3an finns i cell A1 och 8an finns i cell A2 blir formeln i Excel =heltal(A1+(A2-A1+1)*slump()).
Konvertera tal till text
SÃ¥ nu har vi slumpmässiga heltal. Man dessa skall formateras till fin text med multiplikationstecken och allt. Excel har en funktion som heter Text(tal;format). “Format” är lämpligt att ha = 0 eller texten “Standard”. För att sätta ihop olika tal används funktionen sammanfoga(text1;text2;text3…). Här är ett exempel som genererar en multiplikationsuppgift:
=SAMMANFOGA(TEXT(HELTAL(SLUMP()*(A$44-A$43+1)+A$43);0);”·”;TEXT(HELTAL(SLUMP()*(B$44-B$43+1)+B$43);0))
Det här exemplet bygger pÃ¥ att första talet skall vara mellan talen i A43 och A44 och det andra är mellan B43 och B44. Observera multiplikationstecknet! Det är en symbol som kallas “middle dot” i Words “infoga symbol”-dialog. Det ligger efter de vanliga bokstäverna direkt efter paragraftecknet (det bakvända feta P’t).
Absoluta referenserÂ
Dollartecknen framför radnumrena 43 och 44 i formeln talar om för Excel att dessa inte skall ändras när formeln kopieras ned från första raden. Om man trycker på F4 kommer dollarteckena automatisk i den cellreferens markören just nu står i. Tryck upprepade gånger på F4 så får du olika varianter: dollartecken på både rad och kolumn, bara rad, bara kolumn eller inte alls.
En cellreferens med dollartecken kallas för “absolut referens”, till skillnad frÃ¥n de relativa referenser Excel vanligen använder.
Organisera arbetet
Det kan lätt bli komplicerat i Excel. DÃ¥ kan man organisera arbetet genom att arbeta ett steg i taget, frÃ¥n vänster till höger, pÃ¥ ett blad och sedan göra layouten snygg pÃ¥ ett annat blad. SÃ¥ har jag gjort i “10, 100, 1000″-generatorn. PÃ¥ bladet “Inställningar” finns de ställbara parametrarna och en hel rad av beräkningar för varje uppgift.
Välja slumpmässigt i en lista
I den generatorn visar jag också hur man kan använda funktioner för att välja ett slumpmässigt alternativ ur en lista. Formeln som ska användas är Letarad(Värde, tabell, kolum). Denna funktion letar i en tabell i kolumn ett efter Värde och returnerar motsvarande värde från angiven kolumn.
Â
Ett exempel är följande: =LETARAD(N20;$C$11:$D$17;2), där N20 ges av formeln N20=HELTAL(SLUMP()*O20+1). Vi letar alltså upp ett slumpmässigt värde i kolumn 2 i tabellen C11:D17. O20=ANTAL($D$11:$D$17) och anger alltså maxvärdet för slumptalet. Det är ju ingen idé att slumpa fram en 5:a om det bara finns tre värden i tabellen.
På detta sätt bygger man försiktigt upp sitt första exempel steg för steg på en rad. Sedan kopierar man dett så många rader man vill och ordnar till sin layout på ett annat blad.
Anpassa Word till Matematik Wednesday, 2 April, 2008
Posted by themadmathematician in Uncategorized.add a comment
En av de bra sakerna med Word är att det kan bli bättre. Man kan t.ex. anpassa tangentbordet så det blir enklare att skriva matematik.
Hur ofta har du inte velat skriva en multiplikationspunkt utan att behöva gÃ¥ in i Equation Editor eller MathType? Det är hur lätt som helst. Välj i menyn Infoga/Symbol (Alt I Y om du gör det ofta) och leta rätt pÃ¥ multiplikationspunkten. Den heter “Middle dot”.
Längst ned i dialogrutan finns knappen “Kortkommando…”. Klicka där och koppla ihop “Middle dot” med t.ex. Ctrl-. (control+punkt) genom att trycka Ctrl-. och sedan Stäng.
Nu kan du hädanefter infoga en multiplikationspunkt bara genom att trycka Ctrl-punkt.
Knappar för upphöjda och nedsänkta tecken finns pÃ¥ det nedre verktygsfältet som heter “Formatering”, fast frÃ¥n början är de inte aktiverade. Klicka pÃ¥ den lilla lilla pilen längst till höger pÃ¥ verktygsfältet och välj Lägg till eller ta bort knappar/Formatering och bocka för knapparna som saknas.
Vill man samtidigt ha upphöjd och nedsänkt text som i kärnreaktionsformler mÃ¥ste man använda Equation Editor / Mathtype. Du startar Equation Editor / Microsoft Equation genom att klicka pÃ¥ knappen som ser ut som ett rottecken som heter Insert Equation. Alternativt kan du i menyn välja Infoga/Objekt… och välja Microsoft Equation i listan.
Ganska ofta vill man använda grekiska bokstäver, t.ex. α, β och γ, men även Δ, ε, Ω m.fl. Jag tycker det är smidigt att koppla dessa till Alt-kommandon. På samma sätt som jag kopplade multiplikationspunkten till Ctrl-. har jag kopplat t.ex. α till Alt-a, β till Alt-b etc. Detta gör att det går mycket snabbare att skriva matematiska texter.
Slutligen finns något som heter autokorrigering. Jag använder det för att automatiskt förändra ett ensamt x till ett ensamt kursivt x och så vidare för y och z. Det är väldigt sällan det blir ensamma x, y, z, eller andra bokstäver som s, och t om det inte handlar om matematik.
Autokorrigering hittar du i menyn Verktyg/Alternativ för autokorrigering. Skriv in att du vill ersätta x med x och välj “formaterad text” och se till att det blir ett kursivt x. Upprepa för y och z, stäng dialogrutan och testa att skriva x = 3y. Smidigt, eller hur. Â
