Lärartävlingen Kappa 2007 Saturday, 17 November, 2007
Posted by themadmathematician in Cabri, Excel, Programs, TI, TI-Nspire.1 comment so far
Lärartävlingen Kappa 2007 - en matematiktävling för matematiklärare aktiva i skolan är nu i praktiken slut för denna gÃ¥ng. Jag var med och jag är stolt över att säga att jag tog mig till final, även om jag misslyckades totalt pÃ¥ sista uppgiften. Jag lyckades dock bäst av alla med extrauppgiften som skulle lösas samtidigt som sista uppgiften vilket jag givetvis är extra stolt över. Den lösningen är publicerad pÃ¥ Eduard Baumanns webbplats. Â
Här är länkar till mina bidrag i tävlingen:
Uppgift 2, uppgift 3 (innehåller även ett felaktikt induktionsbevis), uppgift 4, uppgift 5, Extrauppgiften.
Jag är också nöjd med min väldigt fullständiga lösning av uppgift 4 där jag ger en enkel och lättfattlig men oväntad geometrisk tolkning till ett svårt kombinatoriskt problem.
Men framför allt vill jag prata lite om att använda tekniska hjälpmedel vid problemlösing. Jag har under tävlingens gång använt mig av följande tekniska hjälpmedel:
- Skriva matematik i Word + Math Type / Equation Editor
- Använda Excel för att simulera Pascals triangel och liknande scenarios
- Använda problemlösaren i Excel för att söka numeriska minima pÃ¥ geometriska problemÂ
- Använda TI-Nspire för att lösa ekvationssystem algebraiskt
- Skriva program för TI-Nspire för att hitta vissa typer av lösningar automatiskt
- Använda Cabri Geometri för att rita geometriska diagram
- Använda Cabri Geometri för att undersöka geometriska konstruktioner och söka minimala staketlängden på extrauppgiften
Dessutom har jag
- Sökt, sökt och sökt igen med Google
- Postat frågor i forum på Internet
- E-postat de som vet bättre
Det är med andra ord en formidabel vapenarsenal jag behövt använda mig av för att nå fram. man skulle kanske nå fram helt utan dessa hjälpmedel, på traditionellt sätt med penna och papper men jag måste säga att dessa hjälpmedel sparar enormt med tid och fungerar som laborativa miljöer i vilka man kan leka och experimentera sig fram till svaren på uppgifterna.
Ett exempel: I uppgift 4 skulle man undersöka en slags “avhuggen” eller “instängd” Pascals triangel. Numeriskt gÃ¥r detta bra att simulera i Excel förstÃ¥s. Men nu gällde det att hitta en algebraisk lösning och Excel är ju inte algebraiskt, eller…?
Visserligen är det sÃ¥ men genom att subtrahera kända härledda termer frÃ¥n det simulerade svaret fÃ¥r jag en bild av differenserna (residues) som gör att jag kan “se” formen pÃ¥ näste term. Subtrahera även denna term sÃ¥ fÃ¥r jag nya, mindre differenser som gör att jag kan “se” en term till etc. Genom att pÃ¥ detta sätt hitta svaret pÃ¥ pragmatiskt sätt ser jag formen pÃ¥ svaret vilket hjälper mig att förstÃ¥ och härleda ett teoretiskt uttryck senare. För den som är intresserad av en del avancerade tekniker med Excel kan ni titta pÃ¥ följande fil.
Eller se på arbetsgången för extrauppgiften. Först tänker man så man har en del idéer. Sedan bygger man olika modeller i Cabri Geometri för att mäta staketlängder. Nar man är rätt nöjd börjar man söka på nätet efter bättre lösningar. Efter mycket om och men hittar man slutligen en lösning som är sämre än sin egen. Men man hittar även fler idéer som visar att ens lösning inte är optimal så mna jobbar vidare och hittar ännu bättre lösningar samtidigt som man kontaktar personen som genererat lösningen på nätet. Efter lite utbyte av idéer genererar han en lösning baserad på mina idéer utfört i problemlösaren till Excel.
Vad kan man lära sig av detta som är användbart i undervisningen? Vad sägs om:
- Vikten av att ha många verktyg framför allt.
- Lösa problem och tala om problemlösningsprocessen?Â
- Vikten av att kunna känna igen när man kört fast och det är dags att byta strategi/verktyg.
- Förmågan att kunna skriva ned sina tankar och utkast, dels snabbt, dels välformulerat, dels i datorskrift.
- Lära sina elever att skriva matematik i Word! (Hur många lärare vet hur man gör upphöjda tal i Word? Multiplikationstecken? Grekiska tecken? Anpassar Word så att man kan skriva grekiska tecken och multiplikationstecken med enkla snabbkommandon som t.ex. Ctrl-punkt för multiplikation, Alt-A för alfa etc.)
Handen på hjärtat: Låter du dina elever lösa tillräckligt med problem?
Problemlösaren i Excel Saturday, 17 November, 2007
Posted by themadmathematician in Excel.add a comment
Jag hade nyligen tillfälle att Ã¥terupptäcka problemlösaren i Excel. Det är ett helt underbart verktyg för lösning av ekvationer och olikheter. Det första man bör göra är att starta Excel och gÃ¥ upp i menyn under “Verktyg” och välja “Tillägg”:
Där bockar du för Problemlösaren och klickar OK. Nu gÃ¥r du in i menyn under “Verktyg” och där har du nu ett nytt menyalternativ “Problemlösaren…”. Klicka pÃ¥ det…
Här ses ett exempel där jag har ett icke-linjärt ekvationssystem av tredje ordningen. Problemlöaren är inställd pÃ¥ att alla tre ekvationerna skall vara = 0 vilket man ställer in genom att använda bivillkor som kallas för “Begränsningar” . I detta exempel har jag dessutom döpt cellerna som innehÃ¥ller ekvationerna till noll1, noll2, och noll3. Tittar man i formlerna sÃ¥ ser man att jag använt namnen x, y och x för cellerna B1, B2 och B3. Man döper celler genom att klicka i den lilla rutan ovanför cell A1 och skriva in valfritt namn. Det gör ofta formler lättare att förstÃ¥.
Här ovan ser vi cell B3 markerad och namngiven som “z”.
Det är värt att poängtera att problemlösaren inte automatiskt hittar alla lösningar eller ens en lösning om initialvärdena är väldigt fel. Det är värt att testa lite själv först för att sedan aktivara problemlösaren.
Det här är ett oerhört kraftigt verktyg som är lämpligt att visa på gymnasienivå.
