Applikationen Inequalz Saturday, 20 January, 2007
Posted by themadmathematician in TI.1 comment so far
Har du hört talas om linjär programmering? Någon för länge sedan uppskattade att hälften av världens då existerande datorkraft gick åt att lösa denna typ av problem. Man kan studera dem genom applikationen Inequalz som låter dig rita upp olikheter på skärmen.
Grundproblemet är detta: Vi tillverkar två produkter A och B och gör x st av A och y st av B. Vi vill maximera vår vinst och bestämma hur många av varje vi ska göra. Tyvärr kan vi inte göra oändligt många av varje pga begränsningar i fabriken.
Vi ställer upp vinstfunktionen som t.ex. V = 20x + 30y (Vi tjänar 20 kr på varje exemplar av A vi gör och 30 kr på varje exemplar av B)
Sedan funderar vi över vilka villkor vi jobbar under och uttrycker dessa som olikheter.
Vi har t.ex
-
x ≥ 0
-
y ≥ 0
-
x + y ≤ 400 Detta står för att en maskin som används för både A och B klarar max 400 enheter per månad
-
x-y ≤ 50 (kan stå för att vi säljer normalt paket med A+B tillsammans och klarar bara av att sälja max 50 extra A-enheter separat. B-enheterna går alltid att sälja. )
-
y ≤ 300 (en annan maskin som bara används till B-enheterna klarar max 300 enheter per månad.)
etc.
Alla dessa villkor kan skrivas som y = f(x) med ett olikhetstecken. I Inequalz matar du in dessa funktioner som vanligt men du kan välja olikhetstecken genom att ställa dig på likhetstecknet och välja ALPHA+någon graftangent (F1-F5). Promenerar man högst upp till vänster där det står x= och trycker enter kan man mata in att X ≥ 0.
Â
Ställ in fönstret i WINDOW så du ser 0-400 i både x och y. Tryck Graph så ritas alla olikheter upp. Tryck ALPHA+Y= för att välja SHADES och välj 1: Area Intersection så ser man det tillåtna området tydligare.
En fundamental sats inom området säger nu att vinstfunktioner maximeras för en av hörnpunkterna till området. Om man trycker ALPHA+ZOOM så väljer man POI-trace. POI står för Points of Interest, dvs hörnpunkterna.
Â
Man får jobba sig igenom alla skärningarna med piltangenterna för att se vilka som faktiskt är intressanta. På varje intressant punkt trycker man STO för att lagra x- och y-värdena i två listor som heter InEqX och InEqY. När man gjort detta för alla punkterna tar man bort grafen och utvärderar sin vinstfunktion men i stället för x och y använder man InEqX och InEqY och får då som svar en lista med vinsterna för de olika hörnpunkterna. Den som är högst säger vilken hörnpunkt som är optimal.
I ovanstående exempel ser man att maximal vinst fås vid tillverkning av 100 A-enheter och 300 B-enheter. Vinsten blir då 11000 kr per månad.
Jag tycker det här är ett bra verklighetsexempel på både var man använder olikheter i verkligheten och som exempel på moderna matematiska problem och borde vara användbart som fördjupning när man kör linjära funktioner och olikheter i år 9 på våren.
