Nämnarens novemberproblem nr 3 Monday, 4 December, 2006
Posted by themadmathematician in Cabri, Nämnaren, Press.trackback
Här är en lösning av Nämnarens novemberproblem nr 3 med Cabri.
Figuren är konstruerad så att punkten P fritt kan löpa längs den vertikala diametern i cirkeln C0. Både area och längd på segmentet AB variarar då. I Cabri kan man sedan mäta olika storheter. Jag mätte längden på AB och areorna på cirklarna. Arean på det eftersökta området kan man också få Cabri att räkna ut åt en. Med verktyget “måttöverföring” överför man dessa mått till axlarna i ett koordinatsystem så att arean sätts ut på x-axeln och längden av AB på y-axeln. Denna process skapar alltså punkter på axlarna som flyttar sig när P rör sig.
Genom att dra vinkelräta linjer mot axlarna i dessa punkter finner man sedan en punkt i koordinatsystemet som svarar mot en punkt på grafen till y = f (x) eller här (längden av AB) = f (Arean av C0).
Med ett verktyg som heter “lokus” kan man sedan rita upp spåret av punkten i koordinatsystemet när P rör sig i cirkeln och med ett annat verktyg kan man få ekvationen för denna kurva beräknad automatiskt.
Det är nu det roliga börjar. I och med att Cabri hanterar dynamisk geometri kan man dra och flytta på alla objekt som är “fria” och inte konstruerade utifrån andra objekt. T.ex. kan man ändra radien på C0 bara genom att dra i den. Man konstaterar då att grafen inte ändras då radien ändras. Ett märkligt men vackert resultat. Då P flyttas glider punkten i koordinatsystemet längs grafen. Vi kan för flera olika radier konstatera att då arean är nära 6.28 är längden på AB nära exakt 4 vilket alltså torde vara svaret.
Cabri kan aldrig ge bevis utan bara approximativa lösningar men är man ambitiös kan man testa dessa lösningar i Cabri mot de ca 16 siffros noggranhet programmet räknar med. Jag har dock inte gjort det här då jag bara vill visa möjligheterna med programmet.
En sak återstår dock. Vad är “0,39″ i grafens ekvation? Genom att använda vårt funna värde på längden av AB kan vi snabbt identifiera det. Följande måste gälla:
4 = √(2π/x) där x är vårt 0,39. Vi löser snabbt ut x och får x = π / 8 vilket är ca 0,39. Sambandet blir alltså
(Arean på grå området) = (π/8 ) * (längden på AB)2
eller
(längden på AB) = √(Arean på grå området) / (π/8 )
Create a free edublog to get your own comment avatar (and more!)
Comments»
no comments yet - be the first?