Avancerade räknare – hjälper eller stjälper? | NCM:s och Nämnarens webbplats Monday, 4 December, 2006
Posted by themadmathematician in Nämnaren, Press, TI.add a comment
Avancerade räknare – hjälper eller stjälper? | NCM:s och Nämnarens webbplats
Mitt debattinlägg är nu online även hos Nämnaren.
Nämnarens novemberproblem nr 3 Monday, 4 December, 2006
Posted by themadmathematician in Cabri, Nämnaren, Press.add a comment
Här är en lösning av Nämnarens novemberproblem nr 3 med Cabri.
Figuren är konstruerad sÃ¥ att punkten P fritt kan löpa längs den vertikala diametern i cirkeln C0. BÃ¥de area och längd pÃ¥ segmentet AB variarar dÃ¥. I Cabri kan man sedan mäta olika storheter. Jag mätte längden pÃ¥ AB och areorna pÃ¥ cirklarna. Arean pÃ¥ det eftersökta omrÃ¥det kan man ocksÃ¥ fÃ¥ Cabri att räkna ut Ã¥t en. Med verktyget “mÃ¥ttöverföring” överför man dessa mÃ¥tt till axlarna i ett koordinatsystem sÃ¥ att arean sätts ut pÃ¥ x-axeln och längden av AB pÃ¥ y-axeln. Denna process skapar alltsÃ¥ punkter pÃ¥ axlarna som flyttar sig när P rör sig.
Genom att dra vinkelräta linjer mot axlarna i dessa punkter finner man sedan en punkt i koordinatsystemet som svarar mot en punkt på grafen till y = f (x) eller här (längden av AB) = f (Arean av C0).
Med ett verktyg som heter “lokus” kan man sedan rita upp spÃ¥ret av punkten i koordinatsystemet när P rör sig i cirkeln och med ett annat verktyg kan man fÃ¥ ekvationen för denna kurva beräknad automatiskt.
Det är nu det roliga börjar. I och med att Cabri hanterar dynamisk geometri kan man dra och flytta pÃ¥ alla objekt som är “fria” och inte konstruerade utifrÃ¥n andra objekt. T.ex. kan man ändra radien pÃ¥ C0 bara genom att dra i den. Man konstaterar dÃ¥ att grafen inte ändras dÃ¥ radien ändras. Ett märkligt men vackert resultat. DÃ¥ P flyttas glider punkten i koordinatsystemet längs grafen. Vi kan för flera olika radier konstatera att dÃ¥ arean är nära 6.28 är längden pÃ¥ AB nära exakt 4 vilket alltsÃ¥ torde vara svaret.
Cabri kan aldrig ge bevis utan bara approximativa lösningar men är man ambitiös kan man testa dessa lösningar i Cabri mot de ca 16 siffros noggranhet programmet räknar med. Jag har dock inte gjort det här då jag bara vill visa möjligheterna med programmet.
En sak Ã¥terstÃ¥r dock. Vad är “0,39″ i grafens ekvation? Genom att använda vÃ¥rt funna värde pÃ¥ längden av AB kan vi snabbt identifiera det. Följande mÃ¥ste gälla:
4 = √(2π/x) där x är vårt 0,39. Vi löser snabbt ut x och får x = π / 8 vilket är ca 0,39. Sambandet blir alltså
(Arean på grå området) = (π/8 ) * (längden på AB)2
eller
(längden på AB) = √(Arean på grå området) / (π/8 )
